等差与等比数列的对比
定义 等差数列 等比数列 an?an?1?d(n?2)后一项与前一项之差是常数 an?q(n?2)后一项与前一项之比是一常数qan?1an?a1qn?1(q?0) 通项 求 和 an?a1?(n?1)d n(a1?an)n(n?1)sn??na1?d 22 ( q?1)?na1 ?Sn??a1(1?qn)a1?anq ? ( q?1)?1?q1-q?1、等比列a1,a2,...,an中，每隔k项取一项，形成新数列ak,a2k,...仍为等比列，公比为q; 2、ank 性 质 1、等差列a1,a2,...,an中，每隔k项取一项，形成新数列ak,a2k,...仍为等差列，公差为kd; 2、an?am?(n?m)d; ?am?qn?m; 3、若B为A、C的等差中项，则2B= A+C; 4、若m + n = p + q，则am?an?ap?aq； 等差中项表述：若2G=m+n,则2aG?am?an） 注：均为两项与两项的关系 3、若B为A、C的等比中项，则B2?A?C; 4、若m + n = p + q，则am?an?ap?aq； （等比中项表述：若2G=m+n,则aG?am?an） 注：均为两项与两项的关系 2§2.6数列的通项公式
一．数列通项公式的求法
（一）、观察法：数列从定义角度看，是按一定顺序排列的一列数，因而它不是杂乱无章的，它是有规律可循的。所以，我们可以根据数列的前几项，观察每一项与项数的关系，从而写出数列的同项公式。
【例1】根据数列前四项，写出它的一个通项公式
1234(1)，··· -，，-? (2)7，77，777，7777，2345
(3)1，2，3
★关键：把握第n项与an的关系，把每一项用项数表示。
（二）、公式法（也称待定系数法）：若数列为特殊数列如是等差数列或等比数列，只需求
1245916212，··· (4)1，·· ，4 ，，，·10173251
出a1与d或a1与q，可直接写出通项公式。 （三）、叠加法
【例2】 已知求a1?2,an?1?an?n，求an
解：当n?1,2,3,?,n?1时，可得n-1个等式。
a2?a1?1,a3?a2?2,a4?a3?3,?,an?an?1?n?1共有n-1个等式，将其相加，得an?a1?1?2?3???(n?1)，
∴an?2?
n(n?1) 2★关键：对形如an?1?an?f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法。
练习2：已知数列?an?中，a1?2，an?1?an?3n，求数列的通项公式。
（四）、叠乘法
2n?1?an?an?1，求an 【例3】已知a1?2，解：2n?1?an?an?1，得
an1?n?1， an?12时
，
可
得
n-1
个
等
式
：
当n?1,2,3,?,n?1aa21a31a11?,?2,4?3,?,n?n?1， a12a22a32an?12左边相乘，右边相乘∴
an1111??2?3???n?1?a1222212n(n?1)2 ， ∴
1an?()2n(n?1)2
★关键：对于形如
an?g(n)的递推公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法。 an?12
n练习3：已知数列?an?中，a1?5，an?an?1?5，求an。
（五）、构造法：原数列不是等差或等比数列，但对已知的等式进行适当变形，可得新数列为等差或等比数列，从而求出通项公式。
【例4】数列?an?中，a1?2，an?2an?1(n?2)，求an
an?1?2点拨，可用倒数变换，将其转化为等差或等比数列。 解：取倒数得：
11111??，令bn?，则bn?bn?1? anan?12an2n211?bn??(n?1)?，?bn?即an?
b122n【例5】已知数列?an?，a1?1，an?1?2an?1，求an 3◆点拨：用配凑法，配凑常数“?”，使an?1???c(an??)(??从而an???(a1??)cn?1d)构成等比数列，c?1，从而求出an。
解：an?1???c(an??)，则an?1???令??23[an?(1??)] 323(1??)，得??-3 2?an?1?32?， ∴?an?3?为等比数列，
an?332323∴an?3?(a1?3)()n?1，从而an?3?2?()n?1
★关键：通过变换地推关系，将非等差或等比数列转化为与等差等比数列有关的数列，从而求得通项公式的方法是由递推公式求通项公式的常用方法。常用转化过程有：配凑、消项变换、倒数变换、取对数变换、换元变换等。 练习4：（1）已知数列?an?中，a1?1，an?1?（2）.已知数列?an?中，a1?2，an?1?
3
an，求an。
1?2an4an?6，求an。 5（六）、含an与Sn类型
【例6】数列?an?的前n项和Sn?1?2an，求通项公式。
分析：由已知条件Sn?1?2an，可知Sn与an的关系，可借助于an?1?Sn?1?Sn，可将条件转化为关于{Sn}的递推公式，进而求出数列的通项公式。
解：∵S1?a1?1?2a1，∴a1??1， ∵Sn?1?1?2an?1，Sn?1?2an。
∴Sn?1?Sn?2(an?1?an)，即an?1?2(an?1?an)
n?1 ∴an?1?2an(n?1)， ∴an?a1?2(n?1)， n?1 ∴an??2(n?2)；
n?1? 又∵n=1时适合上式，则an??2(n?N)
★关键：若an和Sn在一个等式中，一般可利用an与Sn关系，构造关于{an}或{Sn}的递推公式，再进一步确定an或Sn。
§9.4数列求和
一、 公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?q【例1】已知log3x??123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23解：由log3x??11?log3x??log32?x?
log23223n 由等比数列求和公式得 Sn?x?x?x?????x （利用常用公式）
4
11(1?)nx(1?xn)22＝1－1 ＝＝
11?x2n1?2
二、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
【例2】 求数列的前n项和：1?1,111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
2211?n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?a1111练习2：求数列12,24,38,???,(n?2n),???的前n项和。
三、裂项法求和
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） an?111??;
n(n?1)nn?11n?n?1?n?1?n
（2）an?（3）an?1111?(?)
(2n?1)(2n?1)22n?12n?111?21n?n?1,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
【例3】 求数列
解：设an??n?1?n （裂项）
5
2.6数列通项公式和求和(教师版)
