放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧
所谓放缩的技巧：即欲证A?B，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使A?C?B，
由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若t?0,a?t?a,a?t?a （2） （3）
n?1?n，2n?n?n?1，n?1?1?n?1，n(n?1)?n2?n
1111111???2???(n?1) nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n2212????2(n?n?1)
n?1?nn?nnn?n?1（4）2(n?1?n)??（5）若a,b,m?R，则（6）1?（7）1?aaaa?m ?,?bb?mbb
111111???????1??2?????n?12!3!n!2221111111111?（因为） ???????1?(1?)?(?)?????(?)n2(n?1)n2232n2223n?1n（7）
1111111n????????????????1
n?1n?2n?32nn?1n?1n?1n?11111111n1???????????????? n?1n?2n?32n2n2n2n2n2111111n???????????????n， 23nnnnn 或（8）1?（9）
11111?11??2? ，????
k(k?1)kk(k?1)k！2（！k！?k?1)?2k?k?1?1k?2k?k?1
（10）
【经典例题】
例1、设数列?an?满足a1?3,an?1?2an?n?1
（1） 求?an?的通项公式； （2） 若c1?1,bn?cn?1?cn?
1111,dn??求证：数列?bn?dn?的前n项和Sn? an?ncncn?13- 1 -
分析：（1）此时我们不妨设即
an?1?A(n?1)?B?2(an?An?B)
an?1?2an?An?A?B与已知条件式比较系数得A??1,B?0. 又.
?an?1?(n?1)?2(an?n)a1?1?2,?{an?n}是首项为2，公比为2的等比数列。
?an?n?2n,即an?2n?n（3） 由（1）知
an?2n?n,?bn?12n. 当n?2时,
cn?c1?(c2?c1)?(c3?c2)?...?(cn?cn?1)?1?b1?b2?......?bn?11n11112?1??2?...?n?1??2?n?1.122221?21当n=1时，c1=1也适合上式，所以cn?2?n?1，
21111故bndn?n( ?)?n?1n?1122?1(2?2)(2?1)2?nn?1221?方法一：?2n?1
?2?2n，2n?1?1?3(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有
执果索因的分析才可推测出.)
11?()n111112?1?(1?1)?1?bndn?,?S???...???n3?2n3?23?223?2n61?132n32 .
方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n?3时,我们看:
111111???...?n?1由前二项会得到?2?36?714?15(2?2)?(2n?1?1)371111111这样Sn??????...?n?1?n?1我们可重新加括号得66714152?22?111111111Sn??[(?)?(?)?...?(n?n?1)]?n?1371415302?12?22?1 Sn?111??0,?0nn?1n?12?12?22?11故sn?得证.这样也实现了我们的初步想法.也易让学生接受.3 显然- 2 -
易验证当n=1，2时
sn?11sn?3. 综上3
例2、已知正项数列?an?满足a1?1,an?1?（1） 判断数列?an?的单调性； （2） 求证：
an?1*?an?N n2?n?1???11111 ????2n?1n?2anan?1?n?1?1?0故an?1?ana?an(n?1)2，即n?1
?an?1?an?分析：（1） 故数列{
an}为递增数列.
111??2anan?1(n?1)(2) 不妨先证
11??anan?1an?1?ananan?1?an(n?1)2anan?1?an11??.22(n?1)an?1(n?1)
再证：
1111???n?1n?2anan?1
原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法
?11111111111??(?)?(?)?...?(?)?2?2?...??223(n?1)a1an?1a1a2a2a3anan?111111??...?(用到了累差迭加法及?这种常用的放缩手段).1?22?3n(n?1)(n?1)2n(n?1)111111?1????...???1?223nn?1n?1- 3 -
?an?1?n?1?an?1?an???an1a?a[1?]n2n2(n?1)(n?1)anan?1?1?an(n?1)211??anan?1an?1?ananan?1
?an(n?1)2anan?1?1(n?1)2an?1an?1(n?1)2[1?an](n?1)2
?1(n?1)(n?1?an)n?1这种证法还是比较自然的,也易让学生接受..
ana?n?1n当n?2时，n?1 ?11111????anan?1(n?1)(n?2)n?1n?2.
易验证当n=1时,上式也成立.
综上,故有
11111????2n?1n?2anan?1(n?1)成立.
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经典方法归纳：
一．先求和后放缩
例1．正数数列?an?的前n项的和Sn，满足2sn?an?1，试求： （1）数列?an?的通项公式； （2）设bn?11，数列?bn?的前n项的和为Bn,，求证：Bn? anan?1222解：（1）由已知得4Sn?(an?1)，n?2时，4Sn?1?(an?1?1)，作差得：
224an?an?2an?an?1?2an?1，所以
(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因为
?an?为正数数列，所
以
an?an?1?2，即
?an?是公差为2的等差数列，由2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1
bn?（2）
11111??(?)anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1，所以
111111111(1?????)???23352n?12n?122(2n?1)2
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用Bn?先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列求和．
n*例2、已知an?2?1(n?N).求证：
{an}满足条件
an?1?an?f?n?）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来
an1a1a2????...?n(n?N*). 23a2a3an?1证明：
ak2k?11111111?k?1??????.k,k?1,2,...,n, k?1kkak?12?122(2?1)23.2?2?2232
?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?12322223223
an1aan???1?2?...?n?(n?N*). 23a2a3an?12若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2?2，从而是使和式得到化
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放缩法技巧及经典例题讲解(1)
