三角形三边关系的考点问题
三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明. 一、确定三角形某一边的取值范围问题
根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b.
例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问
第三条绳子的长有什么限制.
简析 设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应
大于4m且小于10m。
二、判定三条线段能否组成三角形问题
根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.
例2 （1）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ） A，5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cm C，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm （2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C， 12cm,5cm,6cm D，2cm,3cm,6cm 简析 由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B. 例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？ （1）a－3，a，3(其中a＞3)； （2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)； （3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).
简析 （1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角
形.
（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.
（3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.
三、求三角形某一边的长度问题
此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.
例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.
简析 如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点.根据题意，得x+12，且y+
1x＝2111x＝21；或x+x＝21，且y+x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y222＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.
例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______.
简析 设第三边长为x厘米，因为9-2 故应填上9厘米. A D D P B C B C 图1 图2 四、 求三角形的周长问题 此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误. 例6 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______. A 简析 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三 角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17. 五、判断三角形的形状问题 判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系. 例7 已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的 形状. 简析 因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a －b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a=b=c.所以此三角形是等边三角形. 六、化简代数式问题 这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例8 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值. 简析 因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0.所以|a＋b－c|＋|a－b－ c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10.故b=5. 七、确定组成三角形的个数问题 要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例9 现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 简析 由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形； 若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形.即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C. 例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？ 简析 设较大边长为a，另两边长为b、c.因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜ 1(a＋211b＋c).又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c.所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c).所以，(a 33＋b＋c)＜a ＜ 111(a＋b＋c).×24＜a＜×24.所以8＜a＜12.即a应为9，10，11.由三角形三边关232?a?10,??b?9, ?c?5,??a?11,??b?7, ?c?6,??a?9,?a?10,??系定理和推论讨论知：?b?8, ?b?8, ?c?7,?c?6,???a?11,?a?11,?a?11,????b?8,?b?9,?b?10, ?c?5,?c?4,?c?3.???由此知符合条件的三角形一共有7个. 八、说明线段的不等问题 在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用. 例11 已知P是△ABC内任意一点，试说明AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞ 1(AB＋BC2＋CA)的理由. 简析 如图2，延长BP交AC于D点.在△ABD中，可证明AB＋AD＞BP＋PD.在△ PDC中，可证明PD＋DC＞PC.两式相加，可得AB＋AC＞BP＋PC，同理可得AB＋BC＞PA＋PC，BC＋CA＞PA＋PB.把三式相加后除以2，得AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC.在△PAB中，PA＋PB＞AB；在△PBC中，PB＋PC＞BC；在△ PAC中，PA＋PC＞CA.上面三式相加后除以2，得PA＋PB＋PC＞＋CA)，综上所述：AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞ 1(AB＋BC21(AB＋BC＋CA). 2课堂练习 1. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a的取值范围是__________。 2. 设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（ ） A. －6 B. －5 D.a<－5或a>2 3. △ABC的一边为5，另外两边长恰是方程2x2－12x+m=0的两根，那么m的取值范围是__________。 4. 已知五条线段长分别为3，5，7，9，11，若每次以其中三条线段为边组成三角形， 则最多可构成互不全等的三角形（ ） A. 10个 B. 7个 C. 3个 D. 2个 5. 以7和3为两边长，另一边的长是整数，这样的三角形一共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
三角形三边关系归纳
