第14讲 极值
一、利用图像及制约关系求极值
利用图像求极值主要是利用函数图、矢量图求极值。
利用函数图像求极值时，可利用图像的交点、斜率、截距和与坐标轴所包围的面积等的物理意义，进行分析、推理和计算。
对速度、力、位移等矢量，还可根据平行四边形法则或三角形法则作出矢量图，简便求取极值。
另外，很多物理量都有一定的条件要求，利用这点也可求极值。
例1、A、B两汽车站相距s=60km，从A站每隔t=10min，开出一辆汽车，行驶速
度为v=60km/h。如果在A站正有汽车开出时，从B站有辆汽车以同样大小
B站的车至少应在的速率开往A站。为了在途中遇到从A站开出的车最多，
A站第一辆车开出后多久出发？途中最多能遇到几车车？
解析：从A站开出的每辆汽车的s-t图像如图所示。显然从B站出发的车应在A
站第一辆车开出后1h出发满足要求。 途中遇到车数为Nmax=11辆。 1、思考：如果B站汽车与A站第一辆汽车同时出发，途中最多能遇到几辆车？（6辆）
2、如果B站汽车与A站汽车不同时开出，途中最多双能遇到几辆车？（12辆）
例2、物体从A点由静止出发沿直线运动到B停下，且A、B的间距为s，在这段
时间内，物体可以作匀速运动也可以作加速度为a的匀变速运动，为了使物体从A运动到B的时间最短，试分析：物体应怎样运动？最短时间是多少？最大速度又是多少？
解析：物体可能的两种运动方式如图所示：
显然，下图对应的运动时间最短。
s?vmtmin/2，vm?atmin/2
解得：tmin?2s，vm?as a例3、在“互成角度的两个力的合成”实验中，用A、B两弹簧秤拉橡皮条的端点，
使它伸长到O点，如图所示。现保持O点位置和角?的大小不变，当角?由B示数的变化情况。 图示位置逐渐增大时，讨论弹簧秤A、（图示????900）
解析：O点在FA、FB和F三力的作用下平衡，三力必构成图示的矢量三角形。 其中F的大小、方向和FB的方向不变； ?角增大，FB不断增大； FA先变小，后又逐渐变大； 当FA与FB垂直时，FA最小。
例4、一条河的宽度为L=300m，水的流速为v=50 m/s，并在下游形成瀑布。一艘
船从距瀑布S=400 m的上游渡河。为了不致被冲进瀑布中，试分析船头应沿什么方向？船对水的最小速度是多少？这种情况下的过河时间为多长？
解析：临界情况对应水速的船速的的合速度沿OA方向，如图所示：
显然v船与OA垂直时满足要求vmin?usin??30m/s 船头指向上游，河岸成53O角。t?L/vmincos??12.5s。
例5、一个质点自倾角为?的斜面上方定点A，沿光滑斜槽从静止开始下滑。为了
使质点在最短时间内到达斜面，求斜槽与竖直方向的夹角?应等于多少？
解析：如图所示，从竖直圆的最高点A沿光滑轨道到圆上各点的时间都相同。
由下图可知：???/2
思考：若A点斜面的垂直距离为d，则最短时间为多少？
AB2?d/cos??/2?
??gcos? t?12d cos?a/2?g
例6、如图所示，重为G1=600N的人，站在重G2=400N的平台上用手竖直向下拉
住绳子保持平衡，则此时人台的压力为____N，若增加平台重力而仍保持平衡，则平台的最大重力为____N。
解析：对人和平台整体，设拉力为T，则T+T+2T=G1+G2得T=250N
对人：由T+N=G1 得N=350N 对平台：3T=G2+N 即 3G1-G2=4N 因 N≥0，故G2≤3G1=1800N
例7、如图所示，长为l=100cm，导热性能良好的细玻璃管竖直放置，管内有一段
高为h=4cm的水银封闭l0=96cm长的空气柱，水银柱刚好与管口齐平，现向管口再缓慢加入水银，最多能加入水银的高度是多少？设大气压强
P0=76cnHɡ。
解析：设加入x cm长的水银使得气柱长度减少y，则（P0+h）l0=（P0+h+x）（l0-y）
代入数值y=96x /（180+x）
由y≥x 得 96≥80+x 即x≤16 cm。
二、利用数学方法求极值
21、利用y?ax?bx?c的性质。
2、利用判别式。
3、利用三角函数（包括y?asin?和y?asin??bcos?）。 4、利用定积求和与定和求积原理。
例8、一间新房要盖屋顶，为了使下落的雨滴能够以最短的时间淌离屋顶，则所盖
屋顶的顶角2?应为（设雨滴沿屋上淌时，可看作在光滑的斜坡上下滑）： A、60O B、90O C、120O D、150O
解析：如图所示，对新屋而言，前后间距2d为定值。加速度：a?gcos?
屋面长：L?d/sin? 得t?2d?gsin?cos?4d，当??45o时，t有最小值。答案：B
gsin2?
例9、如图所示，每单位长重为G0的均匀杆AB，支点在A端，B端用绳子悬挂，
使杆水平。在离支点l0处挂一重为G的砝码。问绳子张力的最小值是多大？ 解析：设杆长为L，绳张力为T，则Gl0?LG0??L/2??TL
22得0.5G0L?TL?Gl0?0 ??T?4?0.5G0Gl0≥0 Tmin?2GG0l0
另解：T?Gl0/L?0.5G0L
2所以，当Gl0/L?0.5G0L，即L?2Gl0/G0时，T有最小值。
例10、如图所示，摩托车作腾跃特技表演，以v0?10m/s初速度冲上顶部水平的
高台，然后从高台飞出。试分析：当台高h多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少？（不计一切摩擦，取g?10m/s2）
22解析：mv0/2?mv/2?mgh S?vt h?gt2/2
22得S?v0?2gh?2h/g?2v0h/g?4h2 22当h?b/2a?v0/4g?2.5m时，Smax?v0/2g?5m
当然也可由配方法求得。
例11、如图所示，圆柱形容器竖直放置，上方粗管A的横截面积是下方细管B的
横截面积的4倍，中间灌有水银，水银下方细管中密封一段空气柱，水银上有一活塞（活塞自重及活塞与容器壁间的摩擦均不计），已知大气压强P0=75cmHɡ，静止时，粗管A内水银高度hA=5cm，细管B内水银柱高度hB=10cm，现用一竖直向上的拉力F拉活塞，在活塞慢慢上移的过程中拉力F先变大后变小，当活塞被提高h/=2cm时拉力F又变为零，求： （1）原来水银下方细管中密封的空气柱长度L； （2）当活塞约上移多少后水银对活塞的压强最小？
解析：（1）初状态：P1?P0?hA?hB?90cmHɡ，V1?LS
///末状态：P2?P0?hA?hB?h?4h?84cmHɡ，V2??L?4h?S
由PV11?PV22，得L?112cm
第14讲 极值
