第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第1试
一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在下面的表格内 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 A 7 A 8 C 9 A 10 C 总得分 1、将a千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x千克，则由此可列出方程为( ) A、a(1?10%)?(a?x)(1?15%) B、a?10%?(a?x)?15% C、a?10%?x?a?15% D、a(1?10%)?x(1?15%)
2、一辆汽车从A地匀速驶往B地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a，b的关系是( ) A、b?100a100a100a B、b? C、b? D、b?
1?a%1?a%1?a100?a3、当x?1时，不等式|x?1|?x?1?m?|x?2|恒成立，那么实数m的最大值是( ) A、1 B、2 C、3 D、4
4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数y?2x?1与y?kx?k的
图象的交点是整点，则k的值有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 2?|2x?1|?6 is ( ) A、8 B、5 C、2 D、0
(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)
6、若三角形的三条边的长分别为a，b，c，且ab?ac?bc?b?0，则这个三角形一定是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等三角形 D、等腰直角三角形
7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A、
2223168 B、 C、4 D、5 3315A 5 E B D 3 F G
(英汉词典：square 正方形；intersect…at… 与…相交于…) 8、2?1能分解成n个质因数的乘积，n的值是( ) A、6 B、5 C、4 D、3 9、若关于x，y的方程组?C figure 1
?x?ay?1?0没有实数解，则( )
bx?2y?a?0?A P 2 C 图2
A、ab??2 B、ab??2且a?1 C、ab??2 D、ab??2且a?2 10、如图2，∠AOB=45°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C， 若PC=2，则OC的长是( )
A、7 B、6 C、2?22 D、2?二、A组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：
3
O B
9?452?5?2?5；
?3x?2y?k?112、若关于x，y的方程组?的解使4x?7y?2，则k的取值范围是
2x?3y?2?
k?3；
13、如图3，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个 三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相 等，则BC与MN的长度之比是 4:3 ；
14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟， 停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份 这台冰箱的耗电量是度(1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦；
15、已知自然数a，b，c，满足a?b?c?42?4a?4b?12c和a?a?2?0，则代数式16、已知A、B是反比例函数y?2222A M B
图3
N C
111 ??的值是 1 ；abc2的图象上的两点，A、B的横坐标分别是3，5.设O为原点，则△AOB的面积是x1615；
17、设完全平方数A是11个连续整数的平方和，则A的最小值是 121 ；
18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A、B两地相距15km，甲、乙两人同时从A出发去B。甲先乘汽车到达A、B之间的C地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达。已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么C地与A地相距 10 km； 20、已知
b?ca?ca?b???k，则直线y?kx?k必经过点abc(?1，0)；
三、B组填空题(每小题8分，共40分)
21、等腰三角形的两个内角之比是2：5，则这个三角形的最大内角的度数是 75°或 100°； 22、已知10个数x1，，，…，中，x1?10，对于整数n>1，有xn?nxn?1，则x1x2?2，
x2x3?x10?384；
23、从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有可能出现的结果有 6 种；恰好选中男生甲和女生A的概率是24、若关于x的方程x?16；
bbb22的解是x1??a?的解是x1?a，x2?，那么方程x??a?xaax?1a?1a，
x2?a?3a?1；
25、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然是 37 和 15 ；
第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正 确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内( ) 1. Given A：B=32：3，A=2，C= (A) B>C (B) B=C (C) B a2?a=7，则代数式 29. The size relationship between B and C is 10a2?41a?1．2的值是( ) a?2a?2a?1a2?1 (A) 3 (B) 7 (C) 4 (D) 5 23. 一个凸四边形的四个内角可以 (A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角，另一个是锐角或钝角 4. 如果直线y=2xm与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m的值是( ) (A) 3 (B) 3 (C) 4 (D) 4 。 5. 若n1=2010220112，则2n?1=( ) (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021 。 6. 有四个命题 若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等 其中，正确的命题有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 7. 如图1，Rt△ABC两直角边上的中线分别为AE和BD，则AE2BD2与AB2的比值为 ( ) (A) A D C E B 图1 353 (B) 1 (C) (D) 442A F B y D O A P E D 8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD=12, AB=5， P is any point on AD and PEBD at point E, PFAC at point F. Then PEPF has a total length of( ) 486070 (A) (B) (C) 5 (D) 1313139. 如图3，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，C(2,1)，D(1,1)。 反比例函数y= figure 2 C k的图像与边BC交于点E，与边CD交于点F。已知 xF C E B x BE：CE=3：1，则DF：FC等于( ) (A) 4：1 (B) 3：1 (C) 2：1 (D) 1：1 10. 如图4，a，b，c，d，e分别代表1，2，3，4，5中的一个数。 若bac及dae除以3都余1，则不同的填数方法有( ) (A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 。 图3 b d a c e 图4 二、填空题 (每小题4分，共40分) 11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录， 以命中率(投进球数与投球次数的比值) 来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩 一样好。现有以下关系式： 其中正确的是 (只填序号)。 学生 甲 乙 投进球数 没投进球数 投球次数 10 a 5 b 15 18 ab=5； ab=18； a：b=2：1； a：18=2：3； ?2x?y?4?x?mk12. 已知方程组?的解为?，又知点A(m,n)在反比例函数y=的图像上，则k的值 x?x?y?5?y?n 是 。 13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为a：b (a b的取值 a1 (x1)，那么f(f(f(?f(2011)?)))= 。 ???????1?x2011個fy 2 1 2 O 1 y?axy?2x?b3215. 函数y=ax与函数y=xb的图像如图5所示，则关于x，y的 3?ax?y?0 方程组?的解是 。 3y?2x?3b?16. 若a，b是自然数，且a>b，2011=a(a1)b。那么a= ；b= 。 x 图5 17. 一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6。两次掷这个骰子，朝上一面的数依 ?mx?ny?1 次记为m，n。则关于x，y的方程组?，有解的概率为 。 2x?y?3?18. 如图6边长为23的正方形ABCD内有一点P，且PAB=30，PA=2， 在正方形ABCD的边上有一点Q，且△PAQ为等腰三角形，则符合条件 的点Q有 个。 19. 已知a，b，c为实数，并且对于任意实数x，恒有 | xa || 2xb |=| 3xc |， 则a：b：c= 。 D C A 2 P 30 图6 B 20. 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮，则行驶3000 千米后报废。现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶， 使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶 千米。 三、解答题 每题都要写出推算过程。 21. (本题满分10分) 平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)。设正方形ABCD在y=| xa |a的图像以上部份的面积为S，试求S关于a的函数关系式，并写出S的最大值。 22. (本题满分15分) 若直线l：y=x3交x轴于点A，交y轴于点B。坐标原点O关于直线l的对称点O’在反比例函数y=(1) 求反比例函数y= k的图像上。 xk的解析式； x(2) 将直线l绕点A逆时针旋转角 (0< <45)，得到直线l’，l’交y轴于点P，过点P作x轴的并行线，与上述反比例函数y= 23. (本题满分15分) 给定m (m3)个数字组成的一列数a1，a2，…，am，其中每一个数ai (i=1，2，…，m)只能是1或0。在这一列数中，如果存在连续的k个数和另一组连续的k个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k阶可重复的”。例如由7个数组成一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以称这列数为“4阶可重复的”。 (1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”如果是，请写出重复的这5个数； 0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； 1，1，1，1，1，0，1，1，1，1。 (2) 如果一列数a1，a2，…，am一定是“3阶可重复的”，求m的最小值。 (3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数再添加一个0或 1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么说明理 由。 33k的图像交于点Q，当四边形APQO’的面积为9时，求 的值。 2x
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