1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
问题导学
一、与杨辉三角有关的问题 活动与探究1
如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461 迁移与应用
下列是杨辉三角的一部分．
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．
二、二项式系数的性质 活动与探究2
n(1＋2x)的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
迁移与应用 ?1?10
1．?x－?的展开式中，系数最大的项为( )
?x?
A．第六项 B．第三项
C．第三项和第六项 D．第五项和第七项
?31?n*
2．若?x＋2?(n?N)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )
?x?
A．462 B．252 C．210 D．10
(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．
三、二项式系数、展开式系数的求和 活动与探究3
1．设(3x?x)的二项展开式中各项系数之和为t，二项式系数和为h，若h＋t＝272，
2
则二项展开式含x项的系数为__________．
2．设函数f(x，y)＝?1＋?(m＞0，y＞0)．若f(4，y)＝a0＋＋2＋3＋4，且a0＋a1
y1312n??
m?x?
a1a2a3a4yyyy＋a2＋a3＋a4＝81，则a0＋a2＋a4＝__________．
迁移与应用
423422
1．若(2x＋3)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x，则(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)的值为( ) A．1 B．－1 C．0 D．2
n2n2．已知(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶
22
数次项的系数和为h，奇数次项的系数和为t，则h－t＝__________．
赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式
1
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶
2
1
次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．
2
答案：
课前·预习导学 【预习导引】
r－1r1．(1)1 相等 (2)和 Cn＋Cn
2．(1)首末两端等距离 (2)增大 减小 CCnn－1
n2nn?12n，
Cn?12n
3．(1)2 (2)2
预习交流 (1)提示：C (2)提示：D
课堂·合作探究 【问题导学】
活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．
2121
C 解析：由题图知，数列中的首项是C2，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，…，
21
第15项是C9，第16项是C9．
121212
∴S(16)＝C2＋C2＋C3＋C3＋…＋C9＋C9
111222
＝(C2＋C3＋…＋C9)＋(C2＋C3＋…＋C9)
21112322
＝(C2＋C2＋C3＋…＋C9－C2)＋(C3＋C3＋…＋C9) 23
＝C10＋C10－1 ＝164．
迁移与应用 解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．
(2)设a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，
若令bn＝an＋1－an，则b1＝2，b2＝3，b3＝4，所以可得{bn}是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．
n活动与探究2 思路分析：求(a＋bx)的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，An＋1，再设第k＋1项系数最大，则由不等式组
??Ak＋1≥Ak，?
?Ak＋1≥Ak＋2?
确定k的值．
5
5
6
6
解：T6＝Cn(2x)，T7＝Cn(2x)，依题意有
5566
Cn2＝Cn2?n＝8．
8
∴(1＋2x)的展开式中，二项式系数最大的项为
44
T5＝C48·(2x)＝1 120x． 设第k＋1项系数最大，则有
??C8·2≥C8·2?kkk＋1k＋1
?C8·2≥C8·2?
kkk－1
k－1
?5≤k≤6．
∴k＝5或k＝6(∵k?{0,1,2，…，8})．
56
∴系数最大的项为T6＝1 792x，T7＝1 792x．
迁移与应用 1．D 解析：由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．
?1?5555
由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝C10x·?－?＝－C10中的二项式系数等于项的系
?x?
数的相反数，此时T6的系数最小．
?1?442?1?664664－246
而T5＝C10·x·?－?＝C10x，T7＝C10x·?－?＝C10·x，且C10＝C10，
?x??x?
∴系数最大的项为第五项和第七项．
2．C 解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以
6
展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C10＝210．
活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．
nn0
1 解析：由已知令x＝1，则展开式各项系数和t＝(3＋1)＝4，二项式系数和h＝Cn＋1nnCn＋…＋Cn＝2，
nn∴h＋t＝4＋2＝272，解得n＝4．
11n114
∴(3x＋x)＝(3x＋x)．
3232
14－r1rrr4－rr4
则展开式的通项公式为Tr＋1＝C4·(3x)·(x)＝3C4x＋，
3236
4r令＋＝2，则r＝4． 36
2
∴含x项的系数为1．
2．思路分析：由a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81表示的为各项系数和，可令y＝1求得m值．a0
＋a2＋a4为奇数项系数和，可令y＝－1，结合已知求出．
a1a2a3a4?m?4yyyy?y?
4
令y＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋m)＝81， 又m＞0，∴m＝2．
4
令y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(1－m)＝1． 两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝82， ∴a0＋a2＋a4＝41．
4
迁移与应用 1．A 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)，
4
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(3－2)．
22
∴(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)
41 解析：f(4，y)＝a0＋＋2＋3＋4＝?1＋?， ＝(2＋3)·(－2＋3)＝[(3＋2)(3－2)]＝1．
n－1
2．729 解析：由已知2＝32，∴n＝6．
626
∴(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a6x． 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，
4
4
4
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－3)． 而h＝a0＋a2＋a4＋a6，t＝a1＋a3＋a5， 226
∴h－t＝(h＋t)(h－t)＝3＝729． 当堂检测
6
1??1．?x??的展开式中二项式系数最大的项是( )
x??A．第6项 B．第8项
C．第5,6项 D．第6,7项
答案：D 解析：由n＝11为奇数，则展开式中第
1111?111?1项和第?1项，即第6项22和第7项的二项式系数相等，且最大．
525
2．已知(a－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a5x，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝( ) A．32 B．1
C．－243 D．1或－243
r答案：B 解析：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)C5·ar232令r＝2，则a2＝(－1)C5·a＝80，∴a＝2．
5－r·x，
r∴(2－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a5x，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1．
2m3．(2013课标全国Ⅰ高考，理9)设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大
2m＋1
值为a，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为b．若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：B 解析：由题意可知，a?C2m，b?C2m?1， 又∵13a＝7b，∴13?即
mm525
(2m)!(2m?1)?7?， m!m!m!(m?1)!132m?1．解得m＝6．故选B． ?7m?1n1??4．已知?x2??的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x的
x??系数为__________．
n－1
答案：10 解析：由已知2＝16，n＝5，
5r1???1?rr25－r10－3r∴?x2??展开式的通项为Tr＋1＝C5·(x)·??＝C5·x，
xx????3令10－3r＝1，则r＝3，∴含x项的系数为C5?10． 2??5．(2013江苏常州模拟)在?x?2?的展开式中，
x??(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
答案：
5r4?2?rrrr8?r?解：Tr＋1＝C8?(x)??2?＝(－1)·C8·2·x2．
?x?8r(1)设第r＋1项系数的绝对值最大，
2?1?,??8?rr?1?C?2?C?2，?则?rr∴? r?1r?121??C8?2?C8?2.??.?r9?r?r8rr?18r?1故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)求二项式系数最大的项．
答案：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项． ∴T5＝C·2·x4
484?202＝1 120x．
－6
(3)求系数最大的项．
答案：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C8·2·x6
6－11
＝1 792x?172－11
．
?172(4)求系数最小的项．
答案：系数最小的项为T6＝(－1)C5
558·2
x＝－1 792x．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
高中数学 第一章1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质讲解与例题 新人教A版选修2-3
