第四讲 直线参数t的几何意义
1．直线的参数方程
知识解读 ??x?x0?tcos?(t为参数）(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为?
??y?y0?tsin?(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
uuuuur(1)当M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．
uuuuur(2)当M0M与e反向时，t取负数，
(3)当M与M0重合时，t＝0.
3.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为??x?x0?tcos?若A，B(t为参数）?y?y0?tsin?为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到： t1＋t2
(1)t0=2； t1＋t2
(2)|PM|=|t0|=2； (3)|AB|=|t2－t1|； (4)|PA|·|PB|=|t1·t2|
?t?t?(t?t)2?4tt,当tt?0121212?12（5）PA?PB?t1?t2??
??t1?t2,当t1t2?0（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上） 【特别提醒】
(1)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.
(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长l?t1?t2；
知识运用 考向一 参数t的系数的平方和为1
??x＝1＋4cos θ，
【例1】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(θ为参数)，直
?y＝2＋4sin θ?
π
线l经过定点P(3,5)，倾斜角为3.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
??直线l：?3
y＝5＋??2t
1x＝3＋2t，
(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3. 学科&网
【总结套路】 第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程； 第二步--查：检查直线参数t的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步； 第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：at2?bt?c?0 第四步--写：写出韦达定理：t1?t2??bc,t1t2?aa
【举一反三】
1.已知曲线C1的极坐标方程为?sin??4cos?， C2的参数方程为
2??x?3????y?3???2t22t2 (t为参数）（1）将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若C1与C2相交于A、B两点，求AB.
【答案】(1)曲线C1的普通方程y2=4x ,C2的普通方程x+y-6=0 ；（2）AB=414 【解析】（1）曲线C1的普通方程为y2=4x， 曲线C2的普通方程为x+y-6=0
（3?（2）将C2的参数方程代入C1的方程y2=4x，得
2222t）=4（3?t） 22整理可得t?102t?6?0 ，由韦达定理可得t1?t2??102,t1t2??6
AB?t1?t2?(t1?t2)?4t1t2?414
2.已知曲线C的极坐标方程是??4sin??0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为
3?. 4（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求MA?MB的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+(y-2)2=4，
?2t?x?1?2?直线l的参数方程为? (t为参数）?2y?t??2（Ⅱ）32.
【解析】（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程是??4sin??0
即曲线C的直角坐标方程为：x2+(y-2)2=4
?23??x?1?tx?1+tcos??24??直线l的参数方程?即? (t为参数）(t为参数）?y?tsin3??2y?t???4?2（Ⅱ）设点A、B对应的参数分别为t1，t2
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(1?2222t)?(t?2)2?4 22整理，得t?32t?1?0，由韦达定理得t1?t2?32,t1t2?1 因为t1t2>0，所以MA?MB?t1?t2?t1?t2?32
考向二 t 系数平方和不等于1
【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为{x?1?2ty?2?2t， （t为参数）
以O为极点， x轴的非负半轴为极轴，曲线C2的极坐标方程为： ??2cos?. sin2?（Ⅰ）将曲线C1的方程化为普通方程；将曲线C2的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点P?1,2?，曲线C1与曲线C2的交点为A、B，求PA?PB的值.
2【答案】(Ⅰ) C1:x?y?3?0,C2: y?2x；（Ⅱ）62.
【解析】（Ⅰ） C1:x?y?3，即： x?y?3?0；
C2:?2sin2??2?cos?，即： y2?2x
（Ⅱ）方法一：
??x?1??由t的几何意义可得C1的参数方程为??y?2???2t2(t为参数） 2t2
2代入C2:y?2x得t?62t?4?0
2∴t1?t2??62，∴PA?PB?t1?t2?62. 方法二：
2把C1:x?y?3代入C2:y?2x得x2?8x?9?0
所以x1?x2?8， x1x2?9 所以PA?PB?1?12x1?1?1?12x2?1?2?x1?1?x2?1
???2??x1?1?x2?1??2??8?2??62 【总结套路】直线参数t几何意义运用最终版套路 第一步--化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程； 第二步--查：检查直线参数t的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步； a?x?x?t0?t前的系数同时22x?x?at?a?b0??除以?a2?b2 如果否，则先化1.? (t为参数）???????保证y中的t的系数为正数b??y?y??y?y0?btt022?a?b?第三步--代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：at2?bt?c?0 第四步--写：写出韦达定理：t1?t2?? 【举一反三】
bc,t1t2?aa ??x?3?t1.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为?数），以坐标原点(t为参数）??y??3t为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为??cos?. （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M(3,0)，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求MA?MB的值. 【答案】（1）直线l的普通方程为3x?y?3?0，
第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)
