中考试题分类汇编 相似三角形
二、填空题 1、（2008江苏盐城）如图，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE∽△ACB．
2、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ． 3、 （2008上海市）如图5，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果那么
A D E
B A F B C E 图5
C
D BE2?， BC3BF? ． FD 4、（2008泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为 m．
C5、（2008年杭州市）在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D, BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 .
ABD
6、（2008年江苏省南通市）已知∠A＝40°，则∠A的余角等于＝________度. 7、（08浙江温州）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点
B B3 B2 4 B1 1 O A1 A2 A3
A4 A
（第7题图）
B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分
别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ．
8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________. 9、（2008年庆阳市） 两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 ．
10、（2008年庆阳市） 如图8，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是 ．
A DB E C
11、（2008年?南宁市）如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线图8
段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=
A D B
（第12题）
12、(2008年福建省福州市)12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若
DE?5，则BC的长是 ．
E C
13、(2008年广东梅州市) 如图3，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的
中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．
图3 14、（2008新疆建设兵团）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01） 16、（2008大连）如图5，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为_____________.．
17、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ． 18、 （2008上海市）如图，平行四边形ABCD中，E是边BCA F B E
C D BE2上的点，AE交BD于点F，如果?，那么
BC3BF? ． FD一、选择题 1、（2008湖北襄樊）如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC的大小为（ ）
A.60° B.70° C.80° D.120°
2、（2008湘潭市） 如图，已知D、E分别是?ABC的AB、 AC边上的点，DE??BC,且SVADE?S四边形DBCE?1??? 那么AE:AC等于（ ） A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 2
3、(2008 台湾)如图G是?ABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、
L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则?AED的面积：四边形ADGF的面积=？( )
C D O B
图1
A D E A B C
(A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2
D
A E L A F F D G
C B C B E
4、(2008 台湾) 图为?ABC与?DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点， 且AB // DE。若?ABC与?DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。
5、（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城A 墙的高度是（ ）
DA、6米 B、8米 C、18米 D、24O米 EFBC
第18题图
6、(2008 青海)如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2
7、（2008 青海 西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )
A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假
8、（2008海南省）如图2所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ ） A.
3321 B. C. D.
2322
D A
F E M
F 60°
B C D E
C B
(第2题图) 图2
9、 （2008湖北荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 10、（2008贵州贵阳)如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A.1:2
B．1:4
C．1:2
D．2:1
11、（2008湖南株洲）4．如图，在?ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，若
BC?6，则DE等于 A．5 B．4 C．3 D．2 A
E D
B
C
第4题
12、 (2008 青海)如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，
D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2
A D O EFBC
第18题图
13、（2008青海西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )
A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假
14、已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．54 15、（2008山东潍坊）如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于 DAD,设BP=x,则PD+PE=（ ） CA.
16、 （2008山东烟台）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，则a,b,c满足的关系式是（ ）
A、b?a?c B、b?ac C、b?a?c D、b?2a?2c
17、（2008年广东茂名市）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，
AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ） Ａ．
222x5?3 B.4?x5 C.
72 D.
12x12x25?E25
PB1214 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9939A E H DAEF B G C BC（（第10题图）
18、(2008 江苏 常州)如图,在△ABC中,若DE∥BC,A.8cm
B.12cm
C.11cm
AD1=,DE=4cm,则BC的长为（ ） DB2D.10cm
19、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
（第7题） A． B． C． D．
20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（）
A、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D、3∶2
21、(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵
大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A、4.8米
B、6.4米
C、9.6米
D、10米
22、（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶 A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 33、（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）
A
B
三、解答题 1、（2008广东）如图5，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线
CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF. （1）求证：EF∥BC. （2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
C A．
B．
C．
D．
2、（2008山西太原）如图，在VABC中，?BAC?2?C。 （1）在图中作出VABC的内角平分线AD。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。 提示：（1）如图，AD即为所求。 3、（2008湖北武汉）（本题6分）如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。 求证：△ABC∽△FDE． A
F
C B D E
4、 （2008年杭州市）（本小题满分10分）
如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;
(3) 以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC
和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。 C
E F P
A B
H
5、（2008佛山21）如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.
(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另外
两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)； (2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长. C
B A
第21题图 6、（2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵
树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案． ．．（1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．
第20题图 7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. （1）求证：AB·AF＝CB·CD
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP
2
的面积为ycm.
D①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值. P
C F
AEB
8、(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相
交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE?CG；
（2）AN?DN?CN?MN.
9、(2008 湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上. Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；
A
G F
B C D E
图 (1)
Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
问题解答. a的解答记分. ．．．．．如果两题都解，只以Ⅱ．．．．．．．．．．．．．．．．
Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.
设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .
A
G F
B
D
图 (2)
E
C
Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；
②连结BF’并延长交AC于F；
③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.
A 你认为小明的作法正确吗？说明理由.
G F
F′ G′
B C E D′ D E′
图 (3)
10、(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直
角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证
BD2＋CE2=DE2.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若
不成立,请说明理由.
B
y A A 222 D E C B D O E G F C x G F 11、 （08浙江温州）如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，
oQR?y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；A 若不存在，请说明理由．
R E D P C B
H Q
（第1题图）
12、（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的
A 函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
N M O
P C B 图 1
13、(2008安徽)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP:PQ:QR．
A P
O
D R
B C E 第20题 图 14、（2008 山东 临沂）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，
DE?1CD。 2AFD⑴求证：△ABF∽△CEB;
⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。
E B第21题图 C
15、 (2008 浙江 丽水)为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书
房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在
对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．
（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平
面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处． （3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距 为3m的小视
力表．如果大视力表中“E”的长是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的长是多少cm？
C
H
H
B
3.5㎝
F
A
D 5m 3m
（图1）
（第22题）
（图2） （图3）
16、（2008年福建宁德）如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由． E
A F D
B C
17、(2008 黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点C(?3，0)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足OB?3?OA?1?0．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． y
B
x
CO A
18、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M
点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
A A A N M M N O O N M O P C B C B C B D
图 1 P 图 2
图 3
219、（08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10
的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
y D
E
A
图9
B
A F 图10
C
D C E P B G x H .
20、(2008年福建省福州市)（本题满分13分）
如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
（第21题）
21、(2008年广东梅州市)本题满分8分．
如图8，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．
图8
22、(2008年广东梅州市)本题满分8分．
如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F． （1）求证： ?ADE∽?BEF；
（2）设正方形的边长为4， AE=x，BF=y．当x取什么值时， y有最大值?并求出这个最大值．
23.（2008扬州）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G.
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？
EACFGBD
24、（2008徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板绕．．．．DEF．．．．点旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q ．E．．．
【探究一】在旋转过程中， (1)如图2，当
CE＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. EACE＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. EACE＝m时，EP与EQ满足的数量关系式EA2
(2)如图3，当
(3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当
为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm)，在旋转过程中： (1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. (2)随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
AA
PEF
PD
B BQCBC(E)FD （图1） （图2） （图3） A(D)EQCF
25、（2008遵义）（14分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB1D1和△CB2D2两个三角形(如图(2)所示)，将△AB1D1沿直线AB1方向移动(点B2始终在AB1上，AB1与CD2始终保持平行)，当点A与B2重合时停止平移，在平移过程中，AD1与B2D2交于点E，B2C与B1D1交于点F，
(1)当△AB1D1平移到图(3)的位置时，试判断四边形B2FD1E是什么四边形？并证明你的结论；
(2)设平移距离B2B1为x，四边形B2FD1E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B2FD1E的面积的最大值；
(3)连结B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B2B1的值是多少时，△ B1B2F与△ B1CF相似？
D C A B
D1(D2) C A B1(B2) D2 D1 E F C A B2 B1
参考答案
一、选择题
1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、A 9、C 10、B 11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C 18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B 二、填空题
1、∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或错误！不能通过编辑域代码创建对象。）
S?h?22、1:9 3、 4、100 5、 6、50 7、10.5 8、4：9 9、1??1?
S2?h2?310、∠AED?∠B，或∠ADE?∠C，或
2ADAE ?ACAB11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、30° 17、1:9 18、
2 3三、解答题 1、（1）证明：
Q CF平分?ACB，
∴ ?1??2.
又∵ DC?AC,
∴ CF是△ACD的中线， ∴ 点F是AD的中点. ∵ 点E是AB的中点， ∴ EF∥BD, 即 EF∥BC.
（2）解：由（1）知，EF∥BD， ∴ △AEF∽△ABD , ∴
S?AEFAE2?(). S?ABDAB 又∵ AE?1AB, 2 S?AEF?S?ABD?S四边形BDFE?S?ABD?6, ∴
S?ABD?612?() ,
S?ABD2 ∴ S?ABD?8,
∴ ?ABD的面积为8.
2、（2）VABD:VCBA，理由如下：
AD平分?BAC,?BAC?2?C,则?BAD??BCA， 又?B??B，故VABD:VCBA。
3、证明：略 4、（1）∵△ABC为等腰三角形 ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA
又∵CH为底边上的高，P为高线上的点 ∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ∠CBF=∠CBA-∠PBA ∴∠CAE=∠CBF （2）∵AC=BC
∠CAE=∠CBF ∠ACE=∠BCF
∴△ACE～△BCF(AAS) ∴AE=BF
（3）若存在点P能使S△ABC=S△ABG，因为AE=BF，所以△ABG也是一个等腰三角形，这两个三
角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC～△ABG，则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C＜90°
5、解：⑴ 作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E； ………………4分
（痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分）
C
⑵ 如图，∵ 四边形ADEF是正方形，
E
∴ EF∥AB，AD = DE = EF = FA. 5分 F ∴ △CFE ∽△CAB.
∴
EFCF.………………6分 ?BACA∵ AC = 2 ，AB = 6，
设AD = DE = EF = FA = x， ∴
A
D
第21题图
B
x6?x?. …………………7分 2633∴ x＝.即正方形ADEF的边长为. ……………8分
22（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD或AF的值用作中垂线的方法
找到D点或F点，给2分）
B
6、解：（1）皮尺、标杆．
（2）测量示意图如右图所示． （3）如图，测得标杆DE?a，
D
F
C
A
E
（第20题答案图）
树和标杆的影长分别为AC?b，EF?c． Q△DEF∽△BAC，
?DEFE． ?BACAac??． xbab． ?x?c7、（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC
∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B ∴△DCF∽△ABC
∴
CDCFCDAF，即.∴AB·AF＝CB·CD ??ABCBABCB（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， ∴AC＝∴y?AB2?BC2＝152?92＝12，∴CF＝AF＝6
1(x?9)×6＝3x＋27（x＞0） 2②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB. 由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.
EF∥BC，得AE＝BE＝
1159AB＝，EF＝. 222∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8. ∴DE＝DF＋FE＝8＋∴当x＝
925＝. 2225129时，△PBC的周长最小，此时y＝ 228、证明：（1）?四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形
?AD?CD,DE?DG,?ADC??EDG?90o,
??ADE??CDG,?△ADE≌△CDG，
?AE?CG
（2）由（1）得 ?ADE??CDG,??DAE??DCG,又?ANM??CND，
?ANMN?，即AN?DN?CN?MNCNDN
∴?AMN∽?CDN
9、Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS)
Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
A 求得AH?3
x3?xF G 由△AGF∽△ABC得：?
23B
D
解图 (2)
H
E
C 解之得：x?232?3(或x?43?6)
解法二：设正方形的边长为x，则BD? 在Rt△BDG中，tan∠B=
∴
x?3 2?x22?x 2GD， BD解之得：x?232?3(或x?43?6)
解法三：设正方形的边长为x，
则BD?2?x,GB?2?x 22?x2) 2 由勾股定理得：(2?x)2?x2?( 解之得：x?43?6 Ⅱb.解： 正确
由已知可知，四边形GDEF为矩形
∵FE∥F’E’ ，
FEFB?∴， F?E?F?BA G G’ B
F’ F D’ D E’ E
解图 (3)
C 同理∴
FGFB， ?F?G?F?BFEFG ?F?E?F?G? 又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF为正方形
10、解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴?ABE∽?DCA (2)∵?ABE∽?DCA
∴
BEBA ?CACD 由依题意可知CA=BA=2
∴
m2?2 n ∴m=
2 n 自变量n的取值范围为1 2 n∴m=n=2 ∵OB=OC= 1BC=1 2∴OE=OD=2－1 ∴D(1－2, 0) ∴BD=OB－OD=1-(2－1)=2－2=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－2)=22－2 222222∵BD＋CE=2 BD=2(2－2)=12－82, DE=(22－2)= 12－82 ∴BD＋CE=DE (4)成立 证明:如图,将?ACE绕点A顺时针旋转90°至?ABH的位置,则CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°. A H C B D E G F 222 连接HD,在?EAD和?HAD中 ∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD. ∴?EAD≌?HAD ∴DH=DE 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ∴BD2+HB2=DH2 即BD2＋CE2=DE2 11、解：（1）Q?A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10． Q点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2Q?DHB??A?90o，?B??B． ?△BHD∽△BAC， DHBDBD312，?DH???gAC??8?． ACBCBC105（2）QQR∥AB，??QRC??A?90． o△RQC∽△ABC， Q?C??C，?A D P B 1 M 2 H Q R E C RQQCy10?x，??， ??ABBC6103即y关于x的函数关系式为：y??x?6． 5（3）存在，分三种情况： ①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM． Q?1??2?90o，?C??2?90o， ??1??C． ?cos?1?cosC?QM484?， ?，?QP5105A D B H A D B H E P R Q C P E Q 1?3???x?6?425??，?x?18． ??12555②当PQ?RQ时，?R C 312x?6?， 55?x?6． ③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点， 11?CR?CE?AC?2． 24QRBA， QtanC??CRCA3?x?6156?5?，?x?． 2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形． 5212、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ∴ △AMN ∽ △ABC． xAN∴ AM?AN，即?． 43ABAC3∴ AN＝x． ……………2分 4∴ S=S?MNP?S?AMN?133（0＜x＜4） ……………3分 ?x?x?x2． 2481MN． 2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD = 在Rt△ABC中，BC ＝AB2?AC2=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． xMN∴ AM?MN，即?． 45ABBCA M O B Q D 图 2 N 5x， 45∴ OD?x． …………………5分 85过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ?OD?x． 8∴ MN?在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM?QM． BCACC 55?x8?25x，AB?BM?MA?25x?x?4． ∴ BM?2432496． 4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分 49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ x＝ ∴ AM?AO?1． AM＝MB＝2． ABAP2故以下分两种情况讨论： M A N 3① 当0＜x≤2时，y?SΔPMN?x2． 8∴ 当x＝2时，y最大?O B P 图 3 C 323?2?. ………8分 82② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， M ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． ∴ PF?x??4?x??2x?4． 又△PEF ∽ △ACB． B A O N C E P F 图 4 S?PEF?PF?∴ ?． ??S?ABC?AB?∴ S?PEF?232?x?2?． ……………………………………………… 9分 23392y?S?MNP?S?PEF＝x2??x?2???x2?6x?6．……………………10分 8282929?8?当2＜x＜4时，y??x?6x?6???x???2． 88?3?8时，满足2＜x＜4，y最大?2． ……………………11分 38综上所述，当x?时，y值最大，最大值是2． …………………………12分 3∴ 当x? 13.、解（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ， △PAB∽△RDQ． （2）Q四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，?BC?AD?CE， AC∥DE，?PB?PR， PC1?．又QPC∥DR，?△PCQ∽△RDQ． RE2PQPCPC1???．?QR?2PQ． QRDRRE2Q点R是DE中点，?DR?RE．?又QBP?PR?PQ?QR?3PQ，?BP:PQ:QR?3:1:2． 14、解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. ⑵∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥＝CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∵DE?1CD, 222S1S1?DE??DE?∴?DEF????,?DEF????, S?CEB?EC?9S?ABF?AB?4∵S?DEF?2, ∴S?CEB?18,S?ABF?8, ∴S四边形BCDF?S?BCE?S?DEF?16, ∴S四边形ABCD?S四边形BCDF?S?ABF?16?8?24 15、解：（1）甲生的设计方案可行． C?AD?CD?3.2?4.3?28.73根据勾股定理，得A． 22222C?28.73?25?5∴A． ∴甲生的设计方案可行． （2）1.8米． （3）∵FD∥BC ∴△ADF∽△ABC． FDAD． ?BCABFD3∴?． 3.55D?2.1∴F（cm）． ∴ 答：小视力表中相应2.1cm 16.答案不惟一，△EAF∽△EBC，或△CDF∽△EBC，或△CDF∽△EAF． 若△EAF∽△EBC． 理由如下： 在□ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠B. 又∵∠E＝∠E，∴△EAF∽△EBC 17、解：（1）QOB?3?OA?1?0 2?OB2?3?0，OA?1?0 ?OB?3，OA?1 Q点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上 ?A(1，，0)B(0，3) （2）求得?ABC?90 o??23?t (0≤t?23)S?? ??t?23 (t?23)，0)；P2??1，（3）P1(?3??2??4?3?；P3?1，3?；P4(3，23) 33???A O P B C N 18.、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ∴ △AMN ∽ △ABC． xAN∴ AM?AN，即?． 43ABAC3∴ AN＝x． 4∴ S=S?MNP?S?AMNM 图 1 1332（0＜x＜4） ??x?x?x． 248（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ＝AB2?AC2=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． 1MN． 2xMN∴ AM?MN，即?． 45ABBCA M O B Q D 图 2 N 5∴ MN?x， 45∴ OD?x． 8过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ?OD?C 5x． 8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM?QM． BCAC55?x8?25x，AB?BM?MA?25x?x?4． ∴ BM?2432496． 4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． 49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． A ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ x＝ ∴ AM?AO?1． AM＝MB＝2． ABAP2故以下分两种情况讨论： B M O P 图 3 N C 3① 当0＜x≤2时，y?SΔPMN?x2． 8∴ 当x＝2时，y最大?323?2?. 82A ② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． M 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． E B ∴ PF?x??4?x??2x?4． 又△PEF ∽ △ACB． P O N C F 图 4 S?PEF?PF?∴ ?． ??ABS???ABC∴ S?PEF?232?x?2?． 23392y?S?MNP?S?PEF＝x2??x?2???x2?6x?6. 8282929?8?当2＜x＜4时，y??x?6x?6???x???2． 88?3?8时，满足2＜x＜4，y最大?2． 38综上所述，当x?时，y值最大，最大值是2． 3∴ 当x?19、解：（1）43，43，…………………………1分 等腰；…………………………2分 （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分） ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对) ②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对) ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对) 所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 （3）由题意知，FP∥AE， ∴ ∠1＝∠PFB， 又∵ ∠1＝∠2＝30°， DC ∴ ∠PFB＝∠2＝30°, ∴ FP＝BP.…………………………6分 yH过点P作PK⊥FB于点K，则FK?BK?∵ AF＝t，AB＝8， 1FB. 21AFEP21∴ FB＝8－t，BK?(8?t). 2在Rt△BPK中，PK?BK?tan?2?K 图10BGx13(8?t)tan30??(8?t). ……………7分 26∴ △FBP的面积S?113?FB?PK??(8?t)?(8?t)， 226∴ S与t之间的函数关系式为： S?332416(t?8)2，或S?t?t?3. …………………………………8分 121233t的取值范围为：0?t?8. …………………………………………………………9分 20、解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4, 0 所以BQ=BP.又因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形. 0 (2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=3t,由AP=t,得PB=6-t, 所以S△BPQ= 3211×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t； 2220 0 0 (3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又因为∠C=60, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60= 0 1×2t=t, 2所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 00 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=60,所以tan60= 00 6?2tQR6?3,所以t=, ,即 PR53t6时, △APR～△PRQ 521、解：（1） ?AEH与?DFH． ······························· 2分 所以当t= （或?AEH与?BEG， 或?BEG与?CFG ，或?DFH与?CFG） （2）OE=OF． ················································· 3分 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ·····························4分 ?AB∥CD，AO?CO ··································· 5分 ∴?EAO??FCO， · ∵?AOE??COF， ···································6分 ∴△AOE≌△COF， ································7分 ············································ 8分 ∴OE?OF． · 22、证明： （1）因为ABCD是正方形，所以 ∠DAE=∠FBE=90， 所以∠ADE+∠DEA=90， ······················· 1分 又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=90， ························································ 2分 所以∠ADE=∠FEB， ················································································ 3分 所以?ADE∽?BEF． ··············································································· 4分 （2）解：由（1） ?ADE∽?BEF，AD=4，BE=4-x，得 oooy4?x，得 ························································································ 5分 ?x4111································· 6分 y=(?x2?4x)?[?(x?2)2?4]=?(x?2)2?1， · 444所以当x=2时， y有最大值， ··································································· 7分 y的最大值为1． 23、 解：（1）BC、DE的数量关系是BC=DE 理由如下：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD AC=AE ∴△ABC≌△ADE （SAS） ∴BC=DE （2）线段FD是线段FG和FB的比例中项 理由如下：∵△ABC≌△ADE ∴∠ABC=∠ADE ∵∠ABC=∠CBD ∴∠ADE=∠CBD 又∵∠BFD=∠DFG ∴△BFD∽△DFG ∴ BFDF2 ∴FD=FG·FB ?DFGF24、(略) 25、解：(1) 四边形B2FD1E是矩形。 因为△AB1D1平移到图(3)的，所以四边形B2FD1E是一个平行四边形，又因为在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB是直角。所以四边形B2FD1E是矩形。 (2)因为三角形B1B2F与三角形AB1D1相似，则有B2F= 34B1B2=0.6X,B1F=B1B2=0.8x 55所以 sBFDE=BF×DF=0.6X × (8-0.8x)=4.8x-0.48x 2 1 2 21 即y=4.8x-0.48x=12-0.48(x-5) 当x=5时，y=12是最大的值。 (3)要使△ B1B2F与△ B1CF相似，则有解之得：x=3.6 2 B2FB1F0.6X0.6X?? 即 B1FFC0.8X(6-0.6X)
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