数学平面向量的实际背景及基本概念 教学设计
一、教学分析
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
二、教学目标 1、知识与技能： 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
2、过程与方法：
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。 3、情感态度与价值观：
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
三、重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 四、教学设想： （一）导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.
图1
思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.
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（二）推进新课、新知探究、提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？ ③数量与向量的区别在哪里？
活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.
教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.
讨论结果: ①略.
②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量. ③略. 提出问题
①如何表示向量?
②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?
④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?
⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?
⑦数量与向量有什么区别?
⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?
活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.
已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
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图2
知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是:
1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB.
这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) 3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|).
教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.
讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD. 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
图3
③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.
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图4
又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b, OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.
说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.
⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.
（三）应用示例
例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)
图5
分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.
解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)
AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100
000)
点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.
变式训练
一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.
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图6
解:根据题意画出示意图,如图6所示.
|AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°, ∴△ABC为正三角形.
∴|CA|=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m. ∵∠BAC=60°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°. 故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.
图7
例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1)ABCD中,AB与CD是共线向量; (2)单位向量都相等.
活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.
因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.
解:(1)正确; (2)不正确.
点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.
图8
例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与
OA、OB、OC、相等的量.
活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与
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数学平面向量的实际背景及基本概念教学设计
