高中数学竞赛（00-06）——— 数列
1．（00全国）给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0 ( A ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 2．（03全国）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）
A．2046 B2047 C．2048
D．2049
解：注意到452＝2025，462＝2116，∴2026＝a2026—45＝a1981，2115＝a2115—45＝a2070．而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数．又1981＋22＝2003，∴a2003＝a1981+22＝2026＋22＝2048．故选(C)．
3．（04天津）已知数列2004，2005，1，?2004，?2005，…，这个数列的特点是 从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和S2004等于 （A）2005 （B）2004 （C）1 （D）0 （ D ）
24．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?2，则?an?的最大项是（ ）
n?4n?5 ?A?a1 ?B?a2 ?C?a3 ?D?a4
5. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为 （ ）
A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004
6．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不
1的最小整数n是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 1257．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，
222比如f(123)?1?2?3?14。记f1(n)?f(n)，fk?1(n)?f(fk(n))，k?1,2,3,?，等式|Sn-n-6|<
则f2006(2006)＝( ) (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.
a3a4aa9. (2005全国)记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{1?2??|ai?T,i?1,2,3,4},将M
7727374中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
5563556211041103A．?2?3?4 B．?2?3?4 C．?2?3?4 D．?2?3?4
77777777777777779（00全国）等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
1310（04全国）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，则
1的值是_________________________。 ?i?oai111,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18, 即3bn?1?6bn?1?0. anbn?1bnn解：设bn?1111?bn?1?2bn?,bn?1??2(bn?) 故数列{bn?}是公比为2的等比数列，
3333bn?n111111?2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1).33a0333nn?1n?211i?11?2(2n?1?1)?b?(2?1)??(n?1)???i?2?1??3?2?n?3?。 a33i?oii?0i?0??11（05全国）将关于x的多项式f(x)?1?x?x?x???x项
式
2319?x20表为关于y的多
中
g(y)?a0?a1y?a2y2???a19y19?a20y20,其
y?x?4.则
a0?a1???a20521?1?.
6解：由题设知，f(x)和式中的各项构成首项为1，公比为?x的等比数列，由等比数
(y?4)21?1(?x)21?1x21?1, ?.令x?y?4,得g(y)?列的求和公式，得：f(x)?y?5?x?1x?1取y?1, 有a0?a1?a2???a20521?1?g(1)?.
612（05天津）在数列{an}中，已知a1＝2，an+an+1＝1(n∈N+)．若Sn为数列{an}的前n项和，那么，S2 003－2S2 004＋S2 005的值是_________________．
n，S20042n?1n?3＝1002；当n为奇数时，a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，…，an－1＋an＝1，则Sn＝a1＋＝，
22解：3． 当n为偶数时，a1＋a2＝1，a3＋a4＝1，…，an－1＋an＝1，则Sn＝∴S2003＝1003，S2005＝1004；∴S2 003－2S2 004＋S2 005＝3．
13（2006年江苏）等比数列?an?的首项为a1?2020，公比q??数列的前n项的积，则当n? 时，f?n?有最大值．
1．设f?n?表示这个214.(2005年浙江)已知数列xn，满足(n?1)xn?1?xn?n, 且x1?2， 则x2005= 。 15．（2005四川）设r,s,t为整数，集合{a|a?2?2?2,0?t?s?r}中的数由小到大组成数列{an}：7,11,13,14,?，则a36? 。 16. 数列?an?的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn?17.（00全国）设Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)=18.（05全国）数列{an}满足：a0?1,an?1?rst11(an?),则an=_____ 2anSn的最大值.( 答案：50)
(n?32)Sn?127an?45an?362,n?N.
证明：（1）对任意n?N,an为正整数； (2)对任意n?N,anan?1?1为完全平方数。
证：（1）由题设得a1?5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得
2222an?1?7an?45an?36,两边平方整理得an?1?7anan?1?an?9?0 ①
22?an?7an?1an?an?1?9?0 ②
①-②得(an?1?an?1)(an?1?an?1?7an)?0,an?1?an,?an?1?an?1?7an?0?
an?1?7an?ab?1. ③
由③式及a0?1,a1?5可知，对任意n?N,an为正整数.…………………………10分 （2）将①两边配方，得(an?1?an)?9(anan?1?1),?anan?1?1?(由③an?1?an?9an?(an?1?an)≡?(an?an?1)?mod3? ∴an?1?an≡(?1)n2an?1an2).④ 3?a1?a0?≡0（mod3）∴
an?1?an为正整数。 ④式成立. 3?anan?1?1是完全平方数.……………………………………………………20分
19.（06天津）已知数列{an}满足a1?p，a2?p?1，an?2?2an?1?an?n?20，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得an的值最小．
【解】令bn?an?1?an，n?1,2,?。由题设an?2?2an?1?an?n?20，有
n?1i?1n?1i?1bn?1?bn?n?20，且b1?1…………5分。 于是?(bi?1?bi)??(i?20)，即bn?b1?[1?2???(n?1)]?2n(n?1)．
(n?1)(n?40)?1． （※） …………………………………10分 ∴bn?2又a1?p，a2?p?1，则a3?2a2?a1?1?20?p?17?a1?a2．
∴当an的值最小时，应有n?3，an?an?1，且an?an?1．
即bn?an?1?an?0，bn?1?an?an?1?0． …………………………………15分 由（※）式，得??(n?1)(n?40)?2?n?40* 由于n?3，且n?N，解得?，∴当n?40?(n?2)(n?41)??2?n?40时，a40的值最小． ……………… 20分
20.（2006陕西赛区预赛）已知sin(2???)?3sin?,设tan??x,tan??y,记y?f(x)。(1)求f(x) 的表达式;
(2)定义正数数列{an};a1?12,an?1?2an?f(an)(n?N*)。试求数列{an}的通项公式。. 2
*21.（2006年南昌市）将等差数列{an}:an?4n?1 (n?N)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.
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