天天练 40 选修系列
1．(2017·北京卷，11)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．
答案：1
解析：由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.
∵ 点P的坐标为(1,0)，∴ 点P在圆C外．
又∵ 点A在圆C上，∴ |AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
π??
2．(2017·天津卷，11)在极坐标系中，直线4ρcos?θ－6?＋1＝0与
??
圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．
答案：2
π??
解析：由4ρcos?θ－6?＋1＝0得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，
??
故直线的直角坐标方程为23x＋2y＋1＝0. 由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，
故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为1.
|2×1＋1|3
∵ 圆心到直线23x＋2y＋1＝0的距离d＝＝4＜1，22
?23?＋2
∴ 直线与圆相交，有两个公共点．
3．(2018·山西五校联考(一))在平面直角坐标系xOy中，直线l
?的参数方程为?2
?y＝2＋2t
2
x＝1＋2t，
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
解析：(1)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
(2)解法一：由(1)知，曲线C是以点(0,2)为圆心，2为半径的圆，
21圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝2，则|AB|＝2× 4－2＝14.
??x－y＋1＝0，
解法二：由?22可取A，B两点的坐标分别为
?x＋y－4y＝0?
?1＋73＋7??1－73－7??，2?，?2，2?， 2????
由两点间的距离公式可得|AB|＝14.
解法三：设A，B两点所对应的参数分别为tA，tB，
?将?2?y＝2＋2t
2
x＝1＋2t，
代入x2＋y2－4y＝0，并化简整理可得t2＋2
t－3＝0，
??tA＋tB＝－2，从而?因此|AB|＝?tA＋tB?2－4tAtB＝14.
?tAtB＝－3，?
4．(2017·新课标全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的
??x＝3cos θ，
参数方程为?(θ为参数)，直线l的参数方程为
?y＝sin θ?
??x＝a＋4t，
?(t为参数)． ?y＝1－t?
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.
x22
解析：(1)曲线C的普通方程为9＋y＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. ?x＋4y－3＝0，由?x22 ?9＋y＝1，
??x＝3，解得?
?y＝0?
21??x＝－25，或?24??y＝25.
2124
从而C与l的交点坐标为(3,0)，－25，25.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin
|3cos θ＋4sin θ－a－4|
θ)到l的距离为d＝.
17
a＋9
当a≥－4时，d的最大值为. 17
a＋9
由题设得＝17，所以a＝8；
17
－a＋1
当a＜－4时，d的最大值为. 17
－a＋1
由题设得＝17，
17
所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
5．设函数f(x)＝|x|＋|x＋10|，不等式f(x)≤x＋15的解集为M. (1)求M；
(2)当a，b∈M时，求证：5|a＋b|≤|ab＋25|. 解析：(1)由f(x)≤x＋15得，
x＋15≥0，??
?x≤－10，??－x－x－10≤x＋15
x＋15≥0，??
或?x≥0，??x＋x＋10≤x＋15，
x＋15≥0，??
或?－10 解得－5≤x≤5，所以f(x)≤x＋15的解集M＝[－5,5]． (2)当a，b∈M，即－5≤a≤5，－5≤b≤5时， 要证5|a＋b|≤|ab＋25|，即证25(a＋b)2≤(ab＋25)2. 因为25(a＋b)2－(ab＋25)2＝25(a2＋2ab＋b2)－(a2b2＋50ab＋625)＝25a2＋25b2－a2b2－625＝(a2－25)(25－b2)≤0，所以25(a＋b)2≤(ab＋25)2，即5|a＋b|≤|ab＋25|. 6．(2017·新课标全国卷Ⅰ，23)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解； 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1； 当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0， －1＋17 从而1＜x≤. 2 －1＋17 所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤. 2(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2， 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2. 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1,1]．
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 40 含解析
