教育配套资料K12
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
sin α22
[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α.2.
cos απ
能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
2
(对应学生用书第41页)
[基础知识填充]
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1； sin α
(2)商数关系：tan α＝.
cos α2．诱导公式
组序 一 2kπ＋ 角 α(k∈Z) 正弦 sin α －sin α －cos α tan α －sin α cos α －tan α sin α cos α cos_α π＋α －α π－α π－α 2π＋α 2二 三 四 五 六 2
2
余弦 cos α －cos_α sin α －sin α 正切 口诀 tan α －tan_α 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限 [知识拓展] 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α. (2)sinα＝1－cosα＝(1＋cos α)(1－cos α)． (3)cosα＝1－sinα＝(1＋sin α)(1－sin α)． (4)sin α＝tan αcos α.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sinα＋cosβ＝1.( )
2
2
2
2
2
2
2
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sin α
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )
cos α
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 11
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
33 [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
5
2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
135
A．－
135
C．
13
5
B [∵sin α＝，α是第二象限角，
13122
∴cos α＝－1－sinα＝－.]
13
144
3．(2017·陕西质检(二))若tan α＝，则sinα－cosα的值为( )
21
A．－ 51 C．
5
4
4
2
2
12
B．－
1312D． 13
3B．－ 53D． 5
2
2
2
2
2
sinα－cosαtanα－1
B [sinα－cosα＝(sinα－cosα)(sinα＋cosα)＝＝222
sinα＋cosαtanα＋13
＝－，故选B．]
5
4．(2016·四川高考)sin 750°＝________.
11 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝.] 22
?π?3?π?5．已知sin?＋α?＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)＝________.
2??2?5?
434?π??π?2
－ [因为sin?＋α?＝cos α＝，α∈?0，?，所以sin α＝1－cosα＝，所2?555?2??4
以sin(π＋α)＝－sin α＝－.]
5
(对应学生用书第41页)
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同角三角函数基本关系式的应用 32
(1)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( )
464
A．
25 C．1
48
B． 2516D． 25
3，则cos 2α＝________. 3
(2)(2018·宁德模拟)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝
【导学号：00090085】
2
53cosα＋4sin αcos α2 (1)A (2) － [(1)∵tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝＝2234sinα＋cosα31＋4×4641＋4tan α
＝＝，故选A． 2
tanα＋1?3?2＋125
?4???
122
(2)由(sin α＋cos α)＝1＋2sin αcos α＝得2sin αcos α＝－，
3352
所以(cos α－sin α)＝1－2sin αcos α＝，
3 又α是第二象限角，所以cos α－sin α＜0， 所以cos α－sin α＝－
2
15， 3
2
因此cos 2α＝cosα－sinα＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－5.] 3
3?15?×?－?＝3?3?
sin α22
[规律方法] 1.利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用cos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3．注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋cosα，sinα＝1－cosα，cosα＝1－sinα. sin α＋3cos α2[变式训练1] (1)已知＝5，则sinα－sin αcos α的值为( )
3cos α－sin α1
A．－
5
2B．－ 5
2
2
2
2
2
2
2
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[配套K12]2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式学案
