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第20讲 矩形、菱形和正方形
1．矩形、菱形、正方形的性质 矩形 菱形 正方形 两组对边 边 分别平行且相等. 两组对边分别__平行 __，四条边都__相等 两组对边分别__平行 __，四条边都__相等 角 四个角都是__直角 对角相等，邻角_互补 四个角都是_直角 ①互相平分；②互相垂对角①互相平分；②相等 线 每条对角线平分一组对角 角线平分一组对角 ①互相平分；②互相垂直；③直；③相等；④每条对对称性 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有2条对称轴 ①中心对称；②轴对称且有4条对称轴 S＝ab(a、b表示长与面积 宽) 1S＝mn(m、n表示两条对角线2的长) S＝a2(a表示边长) 2.矩形、菱形、正方形的判定
矩形：①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角四边形； 菱形：①有一组邻边_相等_的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形； 正方形：①一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线 互相垂直且相等的平行四边形。
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
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考点1：矩形性质与判定
【例题1】(2019湖北咸宁市)（（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF． （1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断． （2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴DE∥FC，EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形， ∵∠DCF＝90°， ∴四边形DEFC是矩形．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．
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归纳：与矩形有关的计算：(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等，即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直角；
(2)因为矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，常用到勾股定理，特殊角三角函数的计算；
(3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系应用全等三角形的判定和性质或等腰三角形的性质进行求解． 考点2：菱形的性质与判定
【例题2】在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
(1)如图1，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形；
图1 图2
(2)如图2，若E，F分别在射线DB和射线BD上，且BE＝DF. ①求证：四边形AECF是菱形；
②若∠AEC＝60°，AE＝6，AB＝BE，求AB的长．
【点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于①可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于②可利用菱形的性质，转化到Rt△ABO中进行求解．
【解答】解：(1)证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点， 11∴AE＝AB，AF＝AD.
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又∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD. ∵E，F是AB，AD的中点，∴AE＝AF＝OF＝OE.
2020年中考数学考点第20讲矩形、菱形和正方形
