第3课时
x2y2
1．已知椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦
ab
点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线l：3mx＋3ny＋n＝0(m∈R，n∈R，m，n不全为零)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
x22
2．如图Z5-2，已知椭圆C1：＋y＝1的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，
4
记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.
(1)求圆C2的标准方程；
(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点． ①求证：OP⊥OM；
11
②试探究＋是否为定值． 2
|OP||OM|2
图Z5-2
3．如图Z5-3，抛物线
C1：y2＝8x
x2y2
与双曲线C2：2－2＝1(a>0，b>0)有公共焦点F2，点
ab
A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|＝5.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：(x－2)2＋y2＝1.已知点P(1，3)，过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设被圆M截得的弦长为s，l2被
s
圆N截得的弦长为t.试探索是否为定值？请说明理由．
t
图Z5-3
x2y2
4．如图Z5-4，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0 )的左、右焦点分别为F1，F2，MF2⊥x轴，直
ab2
线MF1交y轴于H点，OH＝，Q为椭圆E上的动点，△F1F2Q的面积的最大值为1.
4
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A，B，C，D，且使AD⊥x轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
图Z5-4
5．已知抛物线E的顶点为原点O，焦点为圆F：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点， A，B在第一象限， C，D在第四象限．
(1)求抛物线E的方程；
(2)是否存在直线l，使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x2y2266
6．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆过点?，?.
ab23??3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A为椭圆C的下顶点，D，E为椭圆C上与A不重合的两点，若直线AD与直线AE的斜率之和为a2，试判断是否存在定点G，使得直线DE恒过点G，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
第3课时
1．解：(1)∵椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c. 又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝2，
x22
椭圆方程为＋y＝1.
2
10，－?. (2)由题意可知该动直线过定点P?3??
116y＋?2＝； 当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋??3?9
当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
116??y＋?2＝，?x2＋??x＝0，3??9由?得?
?y＝1，???x2＋y2＝1，
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1)． 下面证明Q(0,1)为所求：
若直线l的斜率不存在，上述已经证明．
1
若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，
3
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1??y＝kx－3，
由?得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0,
??x2＋2y2－2＝0，
－1612k
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0，x1＋x2＝2，x1x2＝2，
18k＋918k＋9
→→
QA＝(x1，y1－1)，QB＝(x2，y2－1)， →→QA·QB＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
4k16
＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋ 39－164k12k16
＝(1＋k2)·－·＋＝0, 2239＋18k99＋18k→→
∴QA⊥QB，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1)．
x22
2．(1)解：∵A2，B1分别为椭圆C1：＋y＝1的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为
4
(2,0)，(0,1)，可得直线A2B1的方程为x＋2y＝2.
22
∴原点O到直线A2B1的距离为d＝＝， 251＋2
2
∴圆C2的半径r＝d＝，
54
故圆C2的标准方程为x2＋y2＝.
5
(2)证明：①可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，
12?2
2将直线PM方程代入椭圆C1可得??4＋k?x＋2kbx＋b－1＝0，由韦达定理得：
??
?xx＝b－1，
1??4＋k
2
12
2
－2kbx1＋x2＝，
12＋k4
1－k2＋b2
4
∴y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，
12＋k4
|b|252＝b2－1， ＝，整理可得k
45k2＋12
又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d＝1－b2
则y1y2＝，
12＋k4→→∴OP·OM＝x1x2＋y1y2＝0，故OP⊥OM.
1
②由OP⊥OM知S△OPM＝|OP||OM|，
2
115
ⅰ)当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时＋＝；
|OP|2|OM|24x2224
ⅱ)当直线OP的斜率存在时，设OP：y＝k1x代入椭圆方程可得＋k1x＝1，则x2＝，
41＋4k21
4?1＋k21?22222
故|OP|＝x＋y＝(1＋k1)x＝，
1＋4k21
?－1?2?4?1＋??k1??4?k21＋1?2同理|OM|＝＝2，
1?2k1＋4?1＋4?－k?121＋4k1k21151＋4
则＋＝＋＝. 222|OP||OM|4?1＋k241?4?1＋k1?
115
综上可知：＋＝为定值． 22|OP||OM|4
3．解：(1)抛物线C1：y2＝8x的焦点为F2(2,0)， ∴双曲线C2的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)．
设A(x0，y0)在抛物线C1：y2＝8x上，且|AF2|＝5. 由抛物线的定义得，x0＋2＝5，∴x0＝3. 2＝8×3，∴y＝±∴y02 6. 0|AF1|＝?3＋2?2＋?±2 6?2＝7， 又∵点A在双曲线上，
由双曲线定义，得2a＝|7－5|＝2，∴a＝1.
y22
∴双曲线的方程为：x－＝1.
3
s
(2)为定值．下面给出说明： t
设圆M的方程为(x＋2)2＋y2＝r2，双曲线的渐近线方程为y＝±3x. ∵圆M与渐近线y＝±3x相切，
2 3
∴圆M的半径为r＝＝3. 2
1＋?3?
故圆M：(x＋2)2＋y2＝3.
依题意l1，l2的斜率存在且均不为零， ∴设l1的方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y＋3－k＝0，
1
设l2的方程为y－3＝－(x－1)，
k
2021届高考数学一轮复习训练圆锥曲线的综合及应用问题第3课时
