圆锥曲线最值,定点，定值问题
一． 最值问题 (一) 弦长或面积的问题
x23?y2?1交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为例1. 若直线l与椭圆C：，32求?AOB面积的最大值。
0)，变式1. 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆M的中心在坐标原点，左焦点为F(?3,右顶点为D(2,0),设A(1,)
(1) 求椭圆M的方程
(2) 过原点O的直线交椭圆与B,C两点，求?ABC面积的最大值。
12x2?y2?1。过点(ｍ，０)作圆x2?y2?1的切线ｌ交椭圆Ｇ变式２. 已知椭圆Ｇ：4与点Ａ，B两点
(1) 求椭圆G的焦点坐标和离心率
(2) 将AB表示为m的函数，并求AB的最大值。
x2y2??1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆与B，D两点，例2. 已知椭圆32过F2的直线交椭圆与A，C两点，且AC⊥BD，垂足为P，求四边形ABCD的面积的
最小值。
变式1. 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线y?kx(k?0)与椭圆交于E，F两点，求四边形AEBF的面积的最大值。
(二) 涉及坐标，向量数量积等问题
x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。 例3. 已知椭圆2(1) 求过点O，F，并且与直线l:x??2相切的圆的方程
(2) 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交
与点G，求点G横坐标的取值范围。
变式1. 已知点A(-1,0),B(1,0)，动点P满足PA?PB?23，记动点P的轨迹为W (1) 求W的方程 (2) 直线y?kx?1与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点M(m,0)，使得CM?DM成立，求实数m的取值范围。
y2?1(0?m?1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任例4. 如图，椭圆C：x?m2意一点，点P与点A关于点M对称。
(1) 若点P的坐标为(943,)，求m的值 55(2) 若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围
变式1. 已知M(4,0),N(1,0),若动点P满足MN?MP?6PN (1) 求动点P的轨迹C的方程
(2) 设过点N的直线l 交轨迹C与A，B两点，若直线ｌ的斜率ｋ的取值范围为1?k?求NA?NB的取值范围。
二． 定态问题 （一） 定值问题
例5. 已知椭圆C的中心在原点O，离心率e?3，
3（0，2），短轴的一个端点为，点M为直
2线y?1x与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l 交椭圆于A，B两2点。
(1) 求椭圆C的标准方程
(2) 设直线MA，MB的斜率分别为k1,k2,求证：k1+k2=0
变式1. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，
椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为5-1 (1) 求椭圆C的标准方程
(2) 设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且?AOB?为定值，并求出该定值。
?2。求证：原点O到直线AB的距离
x2y2(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?2,变式2 已知椭圆C：2?2?10),F2(2,0)，
ab点M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直
(1) 求椭圆C的方程
(2) 过点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3，2)，记直线AN，BN的斜
率分别为k1,k2,求证k1+k2为定值。 （二） 定点问题 例6. 已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(1，0)，A，B是椭圆C的左，右顶点，D是
椭圆上异于A，B的动点，且?ADB的面积的最大值为2。
(1) 求椭圆C的方程
(2) 是否存在一点E(x0,0)(0?点时，
x0?2)，使得当过点E的直线l与曲线C相交于M,N两
1EM2?1EN2?1为定值？若存在，求出定点和定值，若不存在，请说明理由
变式1 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1) 求椭圆C的标准方程
(2) 若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的
圆过椭圆C的右顶点，求证直线l过定点，并求出该定点的坐标。
x2y2(a?b?0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率 变式2 如图，椭圆E:2?2?1abe?1，过F1的直线交椭圆与A，B两点，且?ABF的周长为8.
22(1) 求椭圆E的方程
(2) 设直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线
x=4相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （三） 定轨迹问题
x2y2?1的焦点在x轴上 例7. 设椭圆E:2?a1-a2(1) 若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程
(2) 设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴
于点Q，并且F1P⊥F1Q。求证：当a变化时，点P在某定直线上
x2y2(a?b?0)左、右焦点F1，F2的动直线l1,l2变式1 如图，分别过椭圆E:2?2?1ab相交于点P，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，O为坐标原点，直线OA,OB,OC,OD的斜率k1,k2,k3,k4满足k1+k2=k3+k4。已知当l1与x轴重合时，AB?23,CD?(1) 求椭圆E的方程
(2) 求点P的轨迹方程
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圆锥曲线中最值-定点-定值问题
