高中数学第1章常用逻辑用语1.2.2“非”（否定）学案新人教B
版选修11
1.2.2 “非”(否定)
学 习 目 标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“p”命题．(重点) 2．了解逻辑联结词“非”的初步应用． 3．掌握全称命题与存在性命题的否定．(难点、易混点) 核 心 素 养 1.通过对逻辑联结词“非”的理解，培养学生的数学抽象素养． 2．通过对命题的否定，提升学生的逻辑推理素养.
1．逻辑联结词“非”
(1)命题的否定：一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)命题p的真假：若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则﹁p必是真命题． 思考1：p：“若a>1，则f(x)＝a是增函数”， ﹁p应怎样表述？
[提示] 命题p的否定为非p(﹁p)，即保留原命题条件，否定其结论，即﹁p应表达为：“若a>1，则f(x)＝a不是增函数”
2．全称命题的否定
全称命题p ?x∈M，p(x) ﹁p ?x∈M，﹁p(x) 结论 全称命题的否定是存在性命题 xx思考2：用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？ [提示] 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
3．存在性命题的否定 存在性命题p ?x∈M，p(x) ﹁p ?x∈M，﹁p(x) 结论 存在性命题的否定是全称命题 思考3：对省略量词的命题怎样否定？ [提示] 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．
1．命题“平行线不相交”中( ) A．没有使用任何一种逻辑联结词 B．使用了逻辑联结词“非” C．使用了逻辑联结词“或” D．使用了逻辑联结词“且”
B [“平行线不相交”表示平行线相交的否定，使用了逻辑联结词“非”，故选B.] 2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( ) A．“p或q”为假，“非q”为假 B．“p或q”为真，“非q”为假 C．“p且q”为假，“非p”为假 D．“p且q”为真，“p或q”为假
B [显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.]
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．由他们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“ ﹁p”中，真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A [容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，﹁p是假命题，故选A.]
4．命题“若a＜b，则2＜2”的否定为________． [答案] 若a＜b，则2≥2
abab
【例1】 写出下列命题的否定，并判断真假． (1)若x，y是奇数，则x＋y是偶数； (2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数； (4)若两个角是对顶角，则这两个角相等． [思路探究]
“﹁p”命题的构成与真假判断 明确命题的对命题的结
→→判断真假
条件和结论论进行否定
[解] (1)若x，y是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．
(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．
(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题． (4)若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．
(1)一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下： 正面 词语 否定 词语 正面 词语 否定 词语 等于 (＝) 不等于 (≠) 任意的 大于(>) 不大于 (≤) 任意 两个 某两个 小于(<) 不小于 (≥) 至少 有一个 一个也 没有 有 是 都是 全是 不全 是 或 无 至多 有一个 至少有 两个 不是 所有 的 某些 不都是 至多 有n个 至少有 某个 n＋1个 且 (2)当命题p真假不易判断时，可以转化为去判断命题﹁p的真假，当命题﹁p为真时，命题p为假，当命题﹁p为假时，命题p为真．
提醒：若命题p是真命题，则﹁p是假命题；若命题p是假命题，则﹁p是真命题．
1．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：y＝sin x是周期函数； (2)p：3<2；
(3)p：空集是集合A的子集； (4)一元二次方程至多有两个解．
[解] (1) ﹁p：y＝sin x不是周期函数．命题p是真命题，﹁p是假命题． (2) ﹁p：3≥2.命题p是假命题，﹁p是真命题．
(3) ﹁p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题，﹁p是假命题． (4) ﹁p：一元二次方程至少有三个解．命题p是真命题，﹁p是假命题．
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命题的否定的真假应用 【例2】 已知命题p：方程x＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“﹁q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 命题p：方程x＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
2
Δ＝4a－4≥0，??
?x1＋x2＞－2，???x1＋1??x2＋1?＞0，
解得a≤－1.
2
a－1≥0，??
??－2a＞－2，??2－2a＞0，
2
命题q：关于x的不等式ax??a＞0
由于?
?Δ＜0?
2
??a＞0，
－ax＋1＞0的解集为R，等价于a＝0或?
??Δ＜0.
??a＞0，
??2
?a－4a＜0，?
解得0 因为“p∨q”与“﹁q”同时为真命题，即p真且q假， 所以? ?a≤－1，? ??a＜0或a≥4， 解得a≤－1. 故实数a的取值范围是(－∞，－1]． 由真值表可判断p∨q、p∧q、﹁p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，﹁p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数范围，再求其补集. 2．已知命题p：|m＋1|≤2成立．命题q：方程x－2mx＋1＝0有实数根．若﹁p为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围． [解] |m＋1|≤2?－2≤m＋1≤2?－3≤m≤1， 即命题p：－3≤m≤1. 方程x－2mx＋1＝0有实数根?Δ＝(－2m)－4≥0?m≥1或m≤－1， 即命题q：m≥1或m≤－1. 因为p为假命题，p∧q为假命题，则p为真命题，所以q为假命题，﹁q：－1＜m＜1. ??－3≤m≤1， 由? ?－1＜m＜1，? 2 2 2 ?－1＜m＜1. 即m的取值范围是(－1,1)． [探究问题] 1．全称命题和存在性命题有什么关系？ [提示] (1)结构关系的认识 全称命题和存在性命题的否定及应用 ①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外. ②存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外． ③两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题． (2)真假性的认识 全称命题的否定与全称命题的真假性相反；存在性命题的否定与存在性命题的真假性相反． 2．全称命题与存在性命题的否定的关键是什么？ [提示] (1)全称命题的否定 全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称命题否定的关键． (2)存在性命题的否定 存在性命题的否定是一个全称命题，给出存在性命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在性命题否定的关键． 【例3】 写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)所有自然数的平方是正数； (2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (3)对任意实数x，x＋1≥0； (4)某些平行四边形是菱形； (5)?x∈R,5x＋1＜0； (6)?x，y∈Z，使得2x＋y＝3. [思路探究] (1)全称命题的否定是存在性命题，否定全称命题时可分两步：第一步将全称量词“?”改为存在量词“?”，第二步将结论否定． (2)存在性命题的否定是全称命题，否定存在性命题时可分两步：第一步将存在量词“?”改为全称量词“?”，第二步将结论否定． [解] (1)命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”．因为0是自然数，所以为真命题． (2)命题的否定是“存在实数x不是方程5x－12＝0的根”．真命题． (3)命题的否定是“存在实数x，使得x＋1＜0”．假命题． 2 2 2
高中数学第1章常用逻辑用语1.2.2“非”(否定)学案新人教B版选修11
