三原南郊中学2019届第四次月考
数学（理）试题
一．选择题：（每小题5分）
11.若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|()x<2}，则A∩B等于( )
2A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1) D.(－3，1)
2.我国古代数学名著《算法通宗》中有以下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏
B. 3盏
C. 5盏
D. 9盏
uur3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?（ ）
ur1uuurur3uuurur1uuurur3uuur3uu1uu3uu1uuA．AB?AC B．AB?AC C．AB?AC D．AB?AC
444444444. 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S12＝24，则a6·a7的最大值为（ ）
A.36 B.6 C.4 D.2
5. (月考2)若关于x的不等式x2?4x?2?a?0在（1,4）内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A.(??,?6) B.(-2,??) C. (??,?2) D. (?6,??) π1
6. 在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则cos A＝( ) 310A.10
1010B.10 C.－10
310D.－10
7.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( ) A.(－1，0)
B.(2，＋∞) D.不能确定
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
?x＋y－2≤0，
8．.x，y满足约束条件?x－2y－2≤0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，
?2x－y＋2≥0.
则实数a的值为( )
1
A.2或－1 1B.2或2
C.2或1 D.2或－1
22
9. 数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a2＋a3
＋…＋a2n等于( ) A.(3n－1)2
1
B.2(9n－1) C.9n－1
1
D.4(3n－1)
?ππ?
10. 已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间?－，?上的最小值是－2，则ω的
4??3最小值等于( ) 2
A.3
3B.2
C.2
D.3
11．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，
f(1)?f(2)?f(3)?…?f(50)?（ ）
A．?50 B．0 C．2 D．50
12．如图（第8题图），在平面四边形ABCD中，AB?BC，
AD?CD，?BAD?120?，AB?AD?1. 若点E为边CD
uuuruur上的动点，则AE?BE的最小值为 （ ）
(A)
21325 (B) (C) 16216(D)3
二．填空题：（每小题5分）
13．已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??________． π?1π???
14.若cos?α－?＝3，则sin?2α－?的值是__
3?6???
15．（练考6）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD?1200,点E,F分别在BC,DC
uuuruuur上，BC=3BE,DC=?DF,若AEgAF?1,则?的值为 ____
16.若关于x的方程4x?2xa?a?1?0有实根，则实数a的取值范围是________ 三．解答题：
17. （10分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，
a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
?π?18. （12分）设f(x)＝sin xcos x－cos2?x＋?.
4??(1)求f(x)的单调区间；
?A?(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f?2?＝0，a＝1，求
??△ABC面积的最大值.
19. （12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3
向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－5. (1)求sin A的值；
uuruur(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在CB方向上的投影.
ax2?bx?c(a?0)的导函数y?f?(x)的两20.（月考3 12分）已知函数f(x)?ex个零点为-3和0.
（1）求f(x)的单调区间。
（2）若f(x)的极小值为?e3，求f(x)在区间[–5，+∞）上的值域。
21.(12分)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
22．（12分）设函数f(x)=[ax2?(4a?1)x?4a?3]ex．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
高三数学（理）月考四参考答案
一．选择题：
ABACC CCDBB CA
二．填空题：
13.
三．解答题：
17 14. .? 15.2 16.(??,2?22? 2917. 解（5分） (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， ?b2＝b1q＝3，?b1＝1，
由?得? 2
?b3＝b1q＝9?q＝3.∴bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).
(2) （5分）由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 n（1＋2n－1）1－3n23n－1＝＋＝n＋2. 21－3
π??
1＋cos?2x＋?
2?sin 2x?
18.. 解：（5分） (1)由题意知f(x)＝2－ 2sin 2x1－sin 2x1＝2－＝sin 2x－
22. ππ
由－2＋2kπ≤2x≤2＋2kπ，k∈Z, ππ
可得－4＋kπ≤x≤4＋kπ，k∈Z； π3π
由2＋2kπ≤2x≤2＋2kπ，k∈Z, π3π
可得4＋kπ≤x≤4＋kπ，k∈Z.
π?π?
所以f(x)的单调递增区间是?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)；
4?4?
3π?π?
?(k∈Z). 单调递减区间是?＋kπ，＋kπ
4?4?11?A?(2) （7分） 由f?2?＝sin A－2＝0，得sin A＝2，
??3
由题意知A为锐角，所以cos A＝2. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc， 即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立.
2＋32＋31
因此2bcsin A≤4.所以△ABC面积的最大值为4
19. 解 (1) （5分）由m·n＝－，
3
5
3
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－5， 3
所以cos A＝－5.因为0 ab (2) （7分） 由正弦定理，得sin A＝sin B， 45×5 bsin A2 则sin B＝a＝＝2， 42 π 因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝4. ?3?由余弦定理得(42)2＝52＋c2－2×5c×?－5?， ??解得c＝1，c＝－7舍去， ??→→|cos B＝-ccos B＝-2. 故向量BA在CB方向上的投影为-|BA 2 20.(见月考3答案)（1）4分 （2）8分 21.（Ⅰ）（3分）由a4?2是a3,a5的等差中项得a3?a5?2a4?4，
陕西省咸阳市三原南郊中学2019届高三第四次月考数学(理)试题含答案
