2017-2024学年第二学期高二数学期末质量检测
2024．6
注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．
2． 本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟．
一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则
一律得零分．
1．抛物线y?16x的准线方程是________.x??4 2．设复数z满足zi??3?2i，则z＝__________.2?3i 3．若一个球的体积为
232?，则该球的表面积为___16?______. 33 64．在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.5. 若复数满足z?i?z?i?2，则z?1?i的取值范围是________[1,5]
z6. —个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、
1(0,0,1)，则该四面体的体积为________.
67. 若复数z?(a?a?2)?(a?3a?2)i为纯虚数，则实数a=__?1__ .
22x2y2x2y2??1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.??1 8．以椭圆
25169169．将圆心角为
222??_． ，面积为3?的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为__3310. 球的半径为5㎝，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6㎝和8㎝，则这两个平面之间的距离是_______cm. 7或1
11. 三棱锥V-ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是_________.(0,3a) .
12. 给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是___④__.
二、选择题(本大题共有4小题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分．
13. 在空间中，“直线m?平面?”是“直线m与平面?内无穷多条直线都垂直 ”的 ( A )．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14. 已知三棱锥S?ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，
1
那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( D )
（A）
3357 （B） （C） （D） 444415. 设直线l的一个方向向量d??6,2,3?，平面?的一个法向量n???1,3,0?，则直线l与平面?的
位置关系是（ D ）.
A．垂直 B．平行
C．直线l在平面?内 D．直线l在平面?内或平行
16. 对于复数z1、z2、z3，给出下列三个运算式子：（1）z1?z2?z1?z2，（2）z1?z2?z1?z2，（3）(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3).其中正确的个数是（ D ）
A． 0 B．1 C.2 D．3
三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分8分）
已知关于x的方程x?kx?k?2k?0?k?R?有一个模为1的虚根，求k的值．
22【解】由题意，得??k2?4k2?2k??3k2?8k?0?k?0或k? 设两根为z1、z2，则z2=z1，………………3分
??8，……2分 3z2=z1=1，得z1?z2=1，…………5分
z1?z2=k?2k ?k2?2k?1 ?k1?1?2,k2?1?2．…………7分 所以k?1?2．……8分
18.（本题满分8分）
如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长AB?2，若异面直线A1A与
21B1C所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积.
2【解】∵A1A//BB1
∴?CB1B为A1A与B1C所成角 且tan?CB1B?1 ………………………………………4分 2
第18题
∵BC=2，∴BB1=4 ………………………………6分
………………………8分 ?V?sh?16 2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 19.（本题满分10分，本题共有
已知双曲线C: x?y2?1，P为C上的任意点。
24（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值；
2
【解】（1）设P(x1,y1)是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x?2y?0和x?2y?0. ………………2分 点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是|x1?2y1||x1?2y1|和， …………4分 55|x1?2y1||x1?2y1||x12?4y12|4?它们的乘积是??.
5555点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……………………5分 （2）设点P的坐标为(x,y)，
x25124?1?(x?)2? ……………………7分 则|PA|?(x?3)?y?(x?3)?4455124Q |x|?2，? 当x?时，|PA|2的最小值为，……………………9分
552222即|PA|的最小值为
25.……………………10分 520.（本题满分12分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分） 如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，?OAB??BOC??6，
，AB?4，D是AB的中点．
（1）求该圆锥的全面积；
2?（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【解】（1）Rt?AOB中，OB?2即圆锥底面半径为2
圆锥的侧面积S侧??rl?8?……………….4分
故圆锥的全面积S全=S侧+S底?8?+4??12?……………….6分 （2）过D作DM//AO交BO于M，连CM 则?CDM为异面直线AO与CD所成角……………….8分
?DM?平面OBC?DM?MC
在Rt?AOB中，AO?23?DM?3
QD是AB的中点 ?M是OB的中点 ?OM?1?CM?5 在Rt?CDM中，tan?CDM?53?15，……………….10分 3QAO?平面OBC??CDM?arctan1515，即异面直线AO与CD所成角的大小为arctan………….12分 33
3
21. （本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）
已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设定点A（3,2），当P点在C上何处时，PA?PF的值最小，并求最小值及点P的坐标； 2?y2?2x?0的圆心重合.
（3）若弦MN过焦点F，求证：
11FM?FN为定值. 【解】 （1）由已知易得F?1,0?，…………………………2分
则求抛物线的标准方程C为y2?4x.……………………4分 （2）设点P在抛物线C的准线上的摄影为点B，
根据抛物线定义知PF?PB……………………5分 要使PA?PF的值最小，必P、A、B三点共线.…………6分
可得P?x21,2?，2?4x1?x1?1.即P?1,2?……………………7分
此时PA?PF?2?2?4.………………………………8分
（3）F?1,0?，设 lMN:x?my?1 M?x1,y1?,N?x2,y2? ……9分
???y2?4x ?x?my?1?y2?4my?4?0 ……………………11分
?1FM?1FN?1x?1 ……………………12分 1?1x2?1?1my2?11?my1?2?m?y1?y2??4
m2y1y2?2m?y1?y2??4 …………13分
4m2??44m2?4?1 …………14分
4
2017-2024学年上海市浦东新区高二下学期期末考试数学试题（含答案）
