向心加速度公式的几种推导
一、运用速度增量法推导
如图，表示速度（率）v作匀速圆周运动的物体，在时间Δt内由A点运动到B点。在这运动过程中，由于Δt非常小，可以看成是过A点切线方向速度为v的匀速直线运动和在AO方向初速度为零的匀加速直线运动的合运动。
物体过A点沿切线方向的速度为v，在AO方向上的初速度
v=0，当经过很短时间Δt内，物体由A点运动到B点，线速度
0
大小仍是v，但方向改变了，由于方向的改变，使物体在AO方向获得了分速度vt=vsin?。这时物体在AO方向速度的增量应是：ΔV=Vt-v0=vsin?。在这段时间内，物体沿切线方向匀速运动走过的距离可看成是由E到B，即EB=V·Δt
由此得到：
Rsin??t?EB?vv
又根据加速度的定义式可得：
a??v?t?vsin?Rsin?/v?v2R
二、运用位移合成法推导
1、如图（1）表示以速率v作匀速圆周运动的物体经
过很短时间Δt，由A点运动到B点，
于是有错误!未指定书签。AB=VΔt
当Δt小到某种程度，即AB弦与AB弧几乎重合，则有：AB弦
=AB弧=vΔt
如果物体位于A点时，力的作用消失，则物体将沿切线方向作匀速运动，在Δt时间内经过位移vΔt。但实际上物体在Δt时间内沿圆周运动到了B点，这是由于物体还受到向心力的作用，加速离开了切线，其位移为AF，它和过A点切线方向的位移vΔt 合成起来，使物体由A移动到B。由于时间Δt很短，向心力可近似看成在过A点的半径方向，从图中可以看出：
由于： ΔABC∽ΔABF
AF所以 AB?ABAC
于是AF?AB2AC2将式代入此式并注意AC=2R
2VAF??t所以 2R上式中v、R都是常量，此时表明位移AF与时间Δt的平方成正比，符合匀加速直线运动的规律。与初速度为零的匀加速直线运动的位移公式
2S?1at2相比较，可得出匀速圆周运动的向心加速度公式
v2a?R 为：
2、图（2）表示物体以速率v作匀速圆周运动的情形，在很短时间Δt内由A点运动到B点，与上题思考方法不同的是，现在把该运动过程看成是同时参与两个分运动的合运动。一个是沿切线方向上的匀速直线运动，其速度就是v，在时间Δt内物体由A点运动到C点，则
?t ① AC?v·另一个是在向心力作用下沿直径BD方向做初速度为零，加速度为a的匀加速运动，在相同的时间Δt
内，物体由C运动到B，
21CB?a?t2则
由几何学中圆外同一点所做切割线与切线的关系得：
AC2?OC?R2?(R?CB)2?R2
?R2?2RCB?R2?2RCB
2
2v2?t2?2R1a?t2将两式代入式得：
化简后得：
a?v2R这就是向心加速度。
三、运用速度位移公式法推导
如图表示以速率v做匀速圆周运动的物体，在极短时间Δt内由A点移动到B点。在这段运动过程中，仍看成是过A
点沿切线方向速度为v的匀速直线运动和在AO方向初速度为零的匀加速直线运动的合运动，与上述方法二、1不同的是在AO方向
2的加速运动，可应用速度与位移的关系式：vt?2aAE
则
a?vt22AE
从右示图中可看出：
AE?ABsin?2
?AB?2Rsin2 而
所以AE?2Rsin2sin2
而由上述“速度增量推法一”知：vt?vsin?所以
??
向心加速度公式的几种推导
