6.3 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 考情考向分析 以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主,等比数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn1(a1≠0,q≠0). 3.等比中项
G如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=
ab
,G2=ab,G=±ab,称G为a,b的等比中项. G
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qnm(n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an. ?1??an?(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a?,{a2bn},?b?仍是等比n},{an·
?n?
?n?
-
-
数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=na1;
a1?1-qn?a1-anq
当q≠1时,Sn==.
1-q1-q6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn. 知识拓展
等比数列{an}的单调性
???a1>0,?a1<0,
?(1)满足或?时,{an}是递增数列. ?q>1???00,?a1<0,?(2)满足或?时,{an}是递减数列. ?0
1??a1≠0,
(3)当?时,{an}为常数列.
?q=1?
(4)当q<0时,{an}为摆动数列.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × ) (2)G为a,b的等比中项?G2=ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × ) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.( × ) a?1-an?
(5)数列{an}的通项公式是an=a,则其前n项和为Sn=.( × )
1-a
n
(6)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( × ) 题组二 教材改编
1
2.[P51例3]已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=______.
41答案
2
a511
解析 由题意知q3==,∴q=.
a282
3.[P54A组T8]在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________. 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,q3=27,∴q=3.
∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81. 题组三 易错自纠
a1-a2
4.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值为________.
b21
答案 -
2
解析 ∵1,a1,a2,4成等差数列, ∴3(a2-a1)=4-1,∴a2-a1=1.
2
又∵1,b1,b2,b3,4成等比数列,设其公比为q,则b22=1×4=4,且b2=1×q>0,∴b2=
2,
a1-a2-?a2-a1?1∴==-.
b2b22
S5
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________.
S2答案 -11
解析 设等比数列{an}的公比为q, ∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0. ∴q3+8=0,∴q=-2,
5
S5a1?1-q?1-q∴=· S2
1-qa1?1-q2?
1-q51-?-2?5===-11.
2
1-q1-4
6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________分钟,该病毒占据内存64MB(1MB=210KB). 答案 48
解析 由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且a1=2,q=2,∴an=2n,
则2n=64×210=216,∴n=16. 即病毒共复制了16次.