高一数学必修一函数知识点总结

由天下分享时间：2024/11/2 14:25:40 加入收藏我要投稿点赞

二、函数的有关概念

1．函数的概念:设A、Ｂ是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系ｆ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x)和它对应,那么就称ｆ：A→Ｂ为从集合A到集合B的一个函数.记作：ｙ=f(x),x∈Ａ.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ｆ（x)｜ x∈Ａ｝叫做函数的值域．注意:

1．定义域:能使函数式有意义的实数ｘ的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (１）分式的分母不等于零；

(２)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(５)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

（７)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义． ? 相同函数的判断方法:①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关)；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本２１页相关例2)

2．值域：先考虑其定义域 (1)观察法 (２)配方法（3）代换法

3．函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=ｆ(ｘ) ， (x∈A)中的x为横坐标,函数值ｙ为纵坐标的点P(x，y）的集合C，叫做函数 y=f(x),（ｘ ∈Ａ)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y＝ｆ(ｘ)的每一组有序实数对ｘ、y为坐标的点(x,ｙ)，均在C上 . (2) 画法 A、描点法: B、图象变换法常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念

（1）区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间

（３)区间的数轴表示． 5．映射

一般地,设Ａ、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则ｆ,使对于集合Ａ中的任意一个元素x，在集合Ｂ中都有唯一确定的元素ｙ与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合Ｂ的一个映射。记作“ｆ(对应关系):A(原象)?B(象)” 对于映射f：A→B来说，则应满足：

（1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象，并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合Ｂ中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数

如果y=ｆ(ｕ)(u∈M),ｕ=g(ｘ)(ｘ∈Ａ）,则 y=f[g(ｘ)]＝F(ｘ)(x∈A）称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) （１）增函数

设函数y=f（x)的定义域为I,如果对于定义域Ｉ内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时,都有ｆ(x１)

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x２，当x1

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法（A) 定义法: １任取ｘ，x∈D,且x○

１

错误! 作差f(ｘ１)－f(x2）;

错误! 变形（通常是因式分解和配方）；

错误! 定号(即判断差f(x１)－ｆ(ｘ2)的正负）；

错误! 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) （C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)］的单调性与构成它的函数ｕ＝g(ｘ)，y＝ｆ（u)的单调性密切相关，其规律:“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性(整体性质) （1）偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=ｆ(x），那么f(x）就叫做偶函数. (2）．奇函数

一般地,对于函数ｆ(x)的定义域内的任意一个x，都有f（-x）=—f（x),那么ｆ(x)就叫做奇函数．

（３)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

错误!首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；错误!确定f(－x)与f(x)的关系; 3作出相应结论：若f（-x) = ○

f（ｘ) 或ｆ（－x)－f(ｘ) ＝０，则f（x)是偶函数；若

f（-x）＝-f(ｘ) 或 f(－x)＋ｆ(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2）由 f（-x)±f(ｘ)＝0或f(x)／ｆ(－x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . ９、函数的解析表达式

（1)．函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 1０．函数最大（小)值(定义见课本p36页) 错误! 利用二次函数的性质(配方法）求函数的最大（小）值 2 ○3 ○

利用图象求函数的最大（小）值

利用函数单调性的判断函数的最大（小)值:

如果函数y=f(x)在区间[a，ｂ]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减则函数y=f（ｘ)在x=b处有最大值f(ｂ）;

如果函数ｙ=ｆ(x)在区间[a,ｂ］上单调递减,在区间［b，ｃ］上单调递增则函数y=ｆ(x)在ｘ=b处有最小值f(b); 例题：

1.求下列函数的定义域： ⑴y?x2?2x?15 ⑵y?1?(x?1)2

x?1x?3?32.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _

3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是

?x?2(x??1)?4．函数，若f(x)?3，则x＝ f(x)??x2(?1?x?2)?2x(x?2)?5.求下列函数的值域:

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2] (3)

y?x?1?2x (4)y??x2?4x?5 6.已知函数f(x?1)?x2?4x,求函数f(x)，７.已知函数

f(2x?1)的解析式

。