N2?1N2?1r??k??N?rk?2? X1??k???x1?r?WN2 ??x1?r?WN2?X1?k??2?r?0r?0?N??N?同样，X2??k??X2?k? （k=0,1,…,N/2-1），所以后半段（k=N/2,…,N-1）的
?2?N2?kN2kkDFT值可以用前半段k值表达式获得，中间还利用到WN，?WNWN??WN得到后半段的X?k?值表达式为：
k X[k]?X1[k]?WNX2[k]，k?0,1,N2?1 （3.12）
这样，通过计算两个N/2点序列x1?n?,x2?n?的N/2点DFTX1?k?,X2?k?，可以组合得到N点序列的DFT值X?k?，其组合过程如图3.3所示：
图3.3 两个N/2点DFT组合成一个N点DFT
比如，一个N = 8点的FFT运算按照这种方法来计算FFT可以用图3.4来表示：
x(0)W0x(1)W0x(2)W0x(3)x(4)W0x(5)W0x(6)W0x(7)W2X(7)W3X(6)W2X(5)W2W0W1X(3)X(4)X(2)X(1)X(0)
图3.4 8点基2按时间抽取（DIT）算法流程图
b）基2按频率抽取（DIF）的FFT算法思想：
设序列长度为N?2L，L为整数（如果序列长度不满足此条件，通过在后面补零让其满足）。
在把X?k?按k的奇偶分组之前，把输入按n的顺序分成前后两半：
X[k]?DFT{x[n]}??x[n]Wn?0N/2?1N?1nkNN/2?1??n?0x[n]WnkN?n?N/2?N?1x[n]WNnk???n?0x[n]WnkNN/2?1??n?0)kN(n?Nx[n?]WN22N/2?1?n?0kNN[x[n]?x[n?]WN2]WNnk,k?0,1,...,N?12
N2?N2?k因为WN??1，则有WN???1?，所以：
kN/2?1X[k]???n?0[x[n]?(?1)kx[n?Nnk]]WN,k?0,1,...,N?12
按k的奇偶来讨论，k为偶数时：
N/2?1X[2r]??[x[n]?x[n?2]]Wn?0N2rnN,k?0,1,...,N?1
k为奇数时：
N/2?1X[2r?1]??n?0[x[n]?x[n?N(2r?1)n]]WN,k?0,1,...,N?12
2rkrk前面已经推导过WN?WN2，所以上面的两个等式可以写为：
N/2?1X[2r]??n?0[x[n]?x[n?Nrn]]WN/2,r?0,1,...,N/2?12 Nnnr]]WN}WN/2,r?0,1,...,N/2?12
N/2?1X[2r?1]??{[x[n]?x[n?n?0通过上面的推导，X?k?的偶数点值X?2r?和奇数点值X?2r?1?分别可以由组合而成的N/2点的序列来求得，其中偶数点值X?2r?为输入x[n]的前半段和后半段之和序列的N/2点DFT值，奇数点值X?2r?1?为输入x[n]的前半段和后半段
n之差再与WN相乘序列的N/2点DFT值。
令
x1[n]?x[n]?x[n?则有：
N/2?1NN]x2[n]?[x[n]?x[n?]]WNn2，2
X[2r]??n?0x1[n]WrnN/2N/2?1,X[2r?1]??n?0rnx2[n]WN/2,r?0,1,...,N?12
这样，也可以用两个N/2点DFT来组合成一个N点DFT。 （3）在FFT计算中使用到的MATLAB命令：
函数fft(x)可以计算R点序列的R点DFT值；而fft(x,N)则计算R点序列的N点DFT，若R>N，则直接截取R点DFT的前N点，若R 四、实验目的： 1、理解信号时域加窗后频谱的所发生的变化。 2、观察时域选择加不同的窗频域的变化情况，从而分析各种窗的特性。 3、深刻理解FFT基本思想，学习基2 DIT和基2 DIF算法。重点理解FFT算法在计算DFT方面的时间优化。 4、观察时域选择加不同的窗后利用FFT绘出的该信号频域的变化情况，再次确认各种窗的特性。 五、实验内容： 1、计算两个给定的加窗的实数序列的DTFT，其中窗函数分别取为矩形窗，Bartlett窗，Hann窗，Hamming窗和Blackman窗，对比各自的频谱特性。 2、对以上两个序列，利用DFT定义式，编程直接计算2个要求序列的DFT值（直接加矩形窗对其截断）。 3、利用MATLAB中提供的FFT函数，计算以上两个序列的DFT值，对比与直接利用DFT定义式计算的结果与所花费的计算时间。 4、对以上两个序列，分别采用不同的窗（Bartlett窗，Hann窗，Hamming窗和Blackman窗），利用FFT函数计算DFT值，对比其结果。 六、实验器材（设备、元器件）： 安装MATLAB软件的PC机一台，DSP实验演示系统一套。 七、实验步骤： ?5??1、计算实数序列x?n??cos?n?w?n? , 0?n?255的DTFT，其中w?n?分别取为 16??矩形窗，Bartlett窗，Hann窗，Hamming窗和Blackman窗，对比各自的频谱特性。 2、计算周期为1kHz的方波序列（占空比为50％，幅度取为＋/-512，采样频率为25kHz，取256点长度）的DTFT，对其进行截断分别取矩形窗，Bartlett窗，Hann窗，Hamming窗和Blackman窗，对比各自的频谱特性。 3、利用DFT定义式，编程直接计算上面两个序列的DFT值。 4、利用MATLAB中提供的FFT函数，计算2个要求序列的DFT值。调用MATLAB中提供的计算程序运行时间函数，对比与直接利用DFT定义式计算所花费的时间。 5、对以上两个序列，分别采用不同的窗（Bartlett窗，Hann窗，Hamming窗和Blackman窗），利用FFT函数计算DFT值，对比其结果。 6、(拓展要求)不改变序列的点数，仅改变DFT计算点数（如变为计算1024点DFT值），观察画出来的频谱与前面频谱的差别，并解释这种差别。通过这一步骤的分析，理解频谱分辨力的概念，解释如何提高频谱分辨力。 八、实验数据及结果分析： 需要的程序代码： （1）对要求的2个序列加不同窗后计算DTFT，对比其各自的频谱。 hold on grid on n = 0:255; Fs = 1; L = length(n); x = cos(5*pi*n/16); w1 = bartlett(L)'; w2 = hann(L)'; w3 = hamming(L)'; w4 = blackman(L)'; LINES = 5; ROWS = 2; ID = -1; STEP = 2; ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) stem(x) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) stem(x.*w1) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) stem(x.*w2) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) stem(x.*w3) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) stem(x.*w4) ID = 0; ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) dtft(x,L,Fs) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) dtft(x.*w1,L,Fs) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) dtft(x.*w2,L,Fs) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) dtft(x.*w3,L,Fs) ID = ID+STEP; subplot(LINES,ROWS,ID) dtft(x.*w4,L,Fs) hold on grid on
数字信号处理实验报告3 DSP信号与系统实验报告 信号加窗及谱分析 电子科技大学 2018版
