首页 > 学生作文 > 读后感 > 读后感800字 >

2013全国数学联赛初中数学试题及答案

由天下分享时间：2025/1/8 18:27:23 加入收藏我要投稿点赞

2013全国数学联赛

初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

?a?2b?3c?0，ab?bc?ca1．设非零实数a，b，c满足?则2的值为（）． 222a?3b?4c?0，a?b?c?1（A）?

2（B）0 （C）

1 2（D）1

【答案】A

【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?0，故(a?b?c)2?0．于是

1ab?bc?ca1ab?bc?ca??(a2?b2?c2)，所以2??． 222a?b?c22．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个非零实根x1，

x2，则下列关于x的一元二次方程中，以（A）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 （C）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 【答案】B

11，为两个实根的是（）． 2x12x2（B）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 （D）c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

【解答】由于ax2?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则a?0．因为x1?x2??b，a2c?2x1x2b2?211(x1?x2)ac11a2x1x2?，且x1x2?0，所以c?0，且 2?2?，2?2?2， ?2ax1x2x12x2c2x1x2c于是根据方程根与系数的关系，以

11，为两个实根的一元二次方程是2x12x2b2?2aca22222x?x??0，即cx?(b?2ac)x?a?0． 2cc23．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数．．．的为（）．

（A）OD

（B）OE

（第3题）

（C）DE 【答案】D

（D）AC

【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝数．

DC·DOOD2由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE?，DE?都

OCOC（第3题答题）

AD?BD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理2

是有理数，而AC＝AD·AB不一定是有理数．

4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC?4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．

（A）3 （C）6 【答案】C

【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．

连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．

因为BC?4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．

（B）4 （D）8

（第4题）

5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：

x?y?3x3y?3x2y2?xy3?45

（第4题答题）

?x?1???y?1?1821 96733?60，

且x?y?z??x?y??z，则2013?2012???3?2的值为（）．

（A）

607 967（B）（C）

5463 967（D）

16389 967【答案】C

【解答】设2013?2012???4?m，则

3m3?3?3m2?9?m?27?45?9， ?2013?2012???4??3?m?3?3m?3m2?3m?1?64?603?93?2?3?92?22?9?23?455463?于是?2013?2012???3??2?9?2?． 3310?3?60967

二、填空题

6．设a?3，b是a2的小数部分，则(b?2)3的值为．【答案】9

【解答】由于1?a?2?a2?3，故b?a2?2?9?2，因此(b?2)3?(39)3?9． 7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是．

【答案】

204 13（第7题）

【解答】如图，连接AF，则有：

S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???，

S?AFDS?AFDFDS?CDF3S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????，

S?AEFS?AEFFES?BEF4解得S?AEF?10896，S?AFD?． 1313（第7题答题）

所以，四边形AEFD的面积是

204． 138．已知正整数a，b，c满足a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0，则abc的最大值为．

【答案】2013

【解答】由已知a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0消去c，并整理得

?b?8?2?6a2?a?66．由a为正整数及6a2?a≤66，可得1≤a≤3．

2若a?1，则?b?8??59，无正整数解；若a?2，则?b?8??40，无正整数解；

若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5．（i）若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013；（ii）若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195．综上知abc的最大值为2013．

229．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2?cx?d?0的两根为a，b，一元二次方程

x2?ax?b?0的两根为

c，d，则所有满足条件的数组(a，，，bcd)为．

【答案】(1，?2，，1?2)，(t，，0?t，0)（t为任意实数）

?a?b??c，??ab?d，【解答】由韦达定理得?

c?d??a，???cd?b．由上式，可知b??a?c?d．若b?d?0，则a?db?1，c??1，进而b?d??a?c??2． bdbcd)?(t，，0?t，0)（t为任意实数）若b?d?0，则c??a，有(a，，，． ?2，，1?2)与(t，，0?t，0)（t为任意实数）满足条件．经检验，数组(1，10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．

【答案】207

?4x?7y?2013，【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则?

x?y?350，?所以x?2013?7yy?1?(503?2y)?， 44于是

y?1是整数．又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y， 4所以y?204，故y的最小值为207，此时x?141．

三、解答题

11．如图，抛物线y?ax2?bx?3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴

1交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y??x?1与y轴交于点D．

3求∠DBC?∠CBE．

1【解答】将x?0分别代入y??x?1，y?ax2?bx?3知，

3D(0，1)，C(0，?3)，

1所以B(3，0)，A(?1，0)．直线y??x?1过点B．

3（第11题）