第一章 复述和复变函数 1.5连续
若函数f(x)在z0的领域内（包括z0本身）已经单值确定，并且
limf(z)?f(z0)，
z?z0则称f(z)在z0点连续。
1.6导数
若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)
?u??x、u?y、?v?v?x、?y在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R条件在该点成立。C-R条件为
???u(x,y)?v(x,y)???x??y??v(x,y) ???x???u(x,y)?y1.7解析
若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z的领域内(i)
?u?x、?u?v?v?y、?x、?y存在。 (ii)C-R条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在领域内(i)
?u?x、?u?v?v?y、?x、?y不仅存在而且连续。 (ii)C-R条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：
?2u?2u?x2+?y2=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C—R条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?
通过C—R条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分
柯西定理：若函数f(z)在单连区域D内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A与B的那些曲线来讲，积分
B?f(z)dz的值均相等。
A柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D内解析，则它沿D内任一围线的积分都等于零。
(z)dz?0
C?f二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
n+1连区域柯西定理：
??f(z)dz?e??f(z)dz?i1??f(z)dz?....?i2??f(z)dzin推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式
若f(z)在单连有界区域D内解析，在闭区域D的边界连续，则对于区域D的任何一个内点a，有f(a)?1f(z)2?i?dz其中??z?a是境
界线。
2.5柯西导数公式
f(n)(z)?n!f(?)2?i?C(??z)n?1d? 第三章 级数
3.2复变函数项级数 ?外尔斯特拉斯定理：如果级数
?uk(z)在境
k?0界?上一致收敛，那么
(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m阶导数组成的级数
?uk?0?(m)k(z)在区域内也收敛，而且它们的和
函数。
环形区域内的解析函数可展成双边幂级数
等于F(z)。 3.3幂级数
阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数
k在点z0处收敛，则在任一圆c(z?a)?kk?0?(m)
f(z)?k????c?k(z?a)k
ck?1f(?)d? 称为Laurant系数 ??2?i(??a)|z-a|<=p|z0-a|，0 并且绝对收敛。 达朗贝尔(D’Alembert)判别法:对于幂级数， |ck?1(z?a)k?1|计算下列极限lim k??|c(z?a)k|k(i)当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对 收敛(ii)当极限值大于1时，幂级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。 柯西判别法：计算极限limk|ck(z?a)| k??k3.8孤立奇点 非孤立奇点：若函数f(z)在z=a点的无论多么小的领域内，总有除z=a以外的奇点，则z=a是f(z)的非孤立奇点。 孤立奇点：若函数在z=a不可导(或无定义)，而在去心领域0<|z-a|<ε解析，则z=a是f(z)的一个孤立奇点。 3.9奇点分类 有限远奇点 可去奇点 极点 本性奇点 无穷远点 极限性质 极点 limf(z)=∞ 洛朗级数 含有限个正幂项 可去奇点 limf(z)=有限值 不含正幂项 极限性质 limf(z)=有限值 limf(z)=∞ limf(z)=无定值 洛朗级数 不含负幂项 含有限个负幂项 含无限个负幂项 当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时，幂级数在点z处发散；极限值等于1时，不能判断 3.4解析函数与幂级数 定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。 Taylor级数：f(z)??n?0?f(n)(a)(z?a)n n!第四章 留数 4.1柯西公式的另一种形式 一阶极点留数：若g(z)在单连区域D内解析，z3z5z2n?1nsinz?z???...?(-1)?...a在D内，在D内作一环绕点a的围线C。 3!5!(2n?1)!令f(z)=g(z)/(z-a)则有： z2zne?1?z??...??... 2!n!z本性奇点 limf(z)=无定值 含无限个正幂项 z2z4z2ncosz?1???...??... 2!4!(2n)!23n?1C?f(z)dz?2?iResf(a) z?aResf(a)?lim(z?a)f(z) zzzln(1?z)?z???...?(-1)n?...一阶极点留数的一种算法: 23n?1?(z)?(a) 如果f(z)?那么Resf(a)? ??(a)?(z)3.5解析函数与双边幂级数 定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析 m阶极点的留数公式 m?1Resf(a)?1d(m?1)!dzm?1[(z?a)mf(z)]|z?a4.2用级数分析来分析留数定理 f(z)?k k??ck(z?a)???则有Resf(a)?c?1 多连区域的柯西定理:如果在围线C的内部包含n个孤立奇点，利用多连区域的柯西定n理就有 dz?2?i?Resf(ak) C?f(z)k?14.3无限远点的留数 Resf(?)??12?i?f(z)dz??c?1 定理1：如果当z→∞时，若zf(z)→0,则Resf(∞)=0 n定理2： ?Resf(ak)?Resf(?)?0 k?14.4留数定理计算型积分 第一种类型： ?2?0R(cos?,sin?)d?型积分 令z?ei? d??dz/iz cos??12(z?z?1)sin??12(z?z?1) ?2?0R(cos?,sin?)d???|z|?1f(z)dz? ｛在单位圆内各个奇点的留数之和｝ ?第二种类型： f(x)dx型积分 ???注意，需要满足条件zlim??zf(z)?0 ?(x)dx?2?i｛在上半平面的奇点留数之 ??f?和｝ （界限上的乘以0.5） ?第三种类型： ??f(x)eimxdx型积分 ?注意需要符合条件limz??f(z)?0 ?imxdx?2?i｛f(z)eimz在上半平面的 ??f(x)e?奇点留数之和｝ 4.7围线积分方法 泊松积分： ??20e?axcosbxdx?1??b2/4a2ae 菲涅尔积分： ??0cosx2dx???1?0sinx2dx?22 第六章 积分变换 6.1傅里叶级数 三角函数系的正交性 2π周期-展开定理： ?f(x)?C0??(Cmcosmx?Dmsinmx) m?1C1?0?2????f(?)d? C1m??????f(?)cosm?d? D?m?1????f(?)sinm?d? 任意周期2l-展开定理： ?f(x)?C0??(Cmcosm?sinm?m?1lx?Dmlx)C1l0?2l??lf(?)d? C?1l?l?lf(?)cosm?ml?d? D1l?l?lf(?)sinm?m?l?d? 6.2傅立叶积分 f(x)???0[C(k)coskx?D(k)sinkx]dk ???C(k)?1?f(?)cosk??????d??? ??D(k)?1????f(?)sink?d?C(k)是偶函数，D(k)是奇函数 傅里叶公式 令f~(k)?12[C(k)?iD(k)] 则f(x)???~ikx??f(k)edk ~f(k)?1?2????f(?)eik?d? ~f(k)?F[f(x)]f(x)?F?1[~f(k)] 6.3傅立叶变换 线性定理 F[C1f1?C2f2]?C1F[f1]?C2F[f2] 导数定理 F[f?(x)]?ikF[f(x)] F[dnf(x)dxn]?(ik)nF[f(x)] 积分定理 F[?xf(?)d?]?1xikF[f(x)] 0延迟定理 F[f(x?x0)]?e?ikx0F[f(x)] 相似定理 F[f(ax)]?1~af(ka) 卷积定理 F[????f??)d?]?2?~f~1(?)f2(x1(k)f2(k)6.4拉普拉斯变幻 ?(p)????(t)?pt0edt 注意当t<0时，?(t)=0 ?(p)=L[?(t)] ?(t)=L-1[?(p)] ?(t)←→?(p) 线性性质： a?t)?b?~~1(2(t)?a?1(p)?b?2(p) 导数的象函数： d?(t)dt?p?(p)??(0) dn?(t)nn?1n?2dtn?p?(p)?p?(0)?p??(0)?...??n-1(0)积分的象函数 ?t?(p)0?(t)dt?p tn?n!pn?1 象函数的位移定理： eat?(t)??(p?a) 由此可得 eatcos?t?p?a(p?a)2??2 eatsin?t??(p?a)2??2 eatch?t?p?a(p?a)2??2 eatsh?t??(p?a)2??2（用来求逆变换） 延迟函数的象函数 ?(t)H(t)??(p) ?(t??)H(t??)?e?p??(p) 卷积定理 L[?t0?1(?)?2(t??)d?]?L[?1(t)]L[?2(t)] 象函数的导数 (?t)n?(t)?dn?(p)dpn 积分公式： ??0?(p)dp????(t)0tdt 第八章 数学物理方程的导出 ?2u(x,t)22?u?t2?a(x,t)?x2 弦的横振动方程 u=弦的横向位移 a2=FT/ρ FT=张力 ρ=单位长度弦的质量 弦的纵振动方程 u=弦的纵向位移 a2=E/ρ E=杨氏模量 ρ=单位长度弦的质量 ?u(r?,t)?a2??t?2u(r,t) 扩散方程 u=离子浓度，a2=D D=扩散系数 热传导方程 u=温度，a2=k/ρc k=导热系数，ρ=质量密度 c=比热容 ?2u(r?,t)??t2?a2?2u(r,t) 波动方程 u=E或B的任一分量 a2?1/?0?0 ?0=真空电容率 ?0=真空导磁系数 E电场强度 B磁场强度 拉普拉斯方程 ?2u(r?,t)?0 稳恒状态扩散方程 u=粒子浓度 稳恒状态传导方程 u=温度 静电场方程 u=静电势 线性算符与解的叠加 初始条件 扩散方程 热传导方u(r?,t)|t?0??（已知函数） 程 波动方程 u(r?,t)|t?0??(已知函数) ?u(?r,t)?t|t?0??（已知函数） 边界条件 [??u?n??u]??已知函数 第九章 本征函数法 弦振动方程的第一类边值问题 定解2问题 ?u(x,t)22?u(x,?t2?at)?x2 u|t?0??(x),ut|t?0??(x)u(0,t)?u(l,t)?0 分离变量 u(x,t)?X(x)T(t) 解本证方??X??(x)??X(x)?0程 ?X(0)?X(l)?0 本征值 ???n?(n?l)2 本征函数X(x)?Xn(x)?sinn?lx 解非本征T??(t)?a2?nT(t)?0 的通解为 方程 T(t)?T?an(t)?Cncosnlt?Dn?ansinlt 定解问题u(x,t)???Tn(t)Xn(x)?的解 n?1??(Cn?a ncosn?1lt?Dn?an?nsinlt)sinlx由初?始条u(x,0)??(x)??Cn?nsin件和n?1lx 傅里?叶级ut|t?0??(x)??Dn?an数确n?1lsinn?lx 定系数 C2ln?n?l?0?(?)sinl?d? D2ln?n?n?a?0?(?)sinl?d?
数学物理方法知识点归纳
