1999年考研数学一【试题版】【无水印】

由天下分享时间：2025/2/16 10:25:58 加入收藏我要投稿点赞

1999年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(x?011?)=_____________. x2xtanx(2)

dx2sin(x?t)dt=_____________. ?0dx2x(3)y???4y?e的通解为y=_____________.

(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________. (5)

设

两

相

互

独

立

的

三

事

件

A,B和

C满足条

件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?且已知P(A1, 2BC)?9,则P(A)=_____________. 16 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数数

(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函

(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数必是单调增函数

?1?cosx x?0?(2)设f(x)??,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x?0处 x?x2g(x) x?0?(A)极限不存在 (C)连续,但不可导

(B)极限存在,但不连续 (D)可导

?x 0?x?1a0????ancosn?x,???x???, (3)设f(x)??,S(x)?122?2x ?x?1n?1??2其中an?25f(x)cosn?xdxS(?)等于 ,则(n?0,1,2,)?0211(A) (B)?

221

3 4(4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则

(C)

(A)当m?n时,必有行列式|AB|?0

(D)?3 4

(B)当m?n时,必有行列式

|AB|?0

(D)当n?m时,必有行列式

(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0

|AB|?0

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则

1 21(C)P{X?Y?0}?

2(A)P{X?Y?0}?三、(本题满分6分)

1 21(D)P{X?Y?1}?2

(B)P{X?Y?1}?设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和

F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求

四、(本题满分5分)

求I?dz.dx

?(eLxsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点

A(2a,0)沿曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的弧.

五、(本题满分6分)

设函数y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1.过曲线y?y(x)上任意一点

P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区

间[0,x]上以y?y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2S1?S2恒为1,求曲线y?y(x)的方程.

六、(本题满分7分)

论证:当x?0时,(x?1)lnx?(x?1).

七、(本题满分6分)

为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

八、(本题满分7分)

x2y2??z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平设S为椭球面22面,?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离,求

zdS.???(x,y,z)S

九、(本题满分7分)

?设an???40tannxdx:

?an?2)的值.

(1)求

?n(an?11n(2)试证:对任意的常数??0,级数

an收敛. ??n?1n?十、(本题满分8分)

?1c??a??,其行列式*b3设矩阵A?5又A的伴随矩阵A有一个特征值|A|??1,????1?c0?a???0,属于?0的一个特征向量为α?(?1,?1,1)T,求a,b,c和?0的值.

十一、(本题满分6分)

设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,B为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n.