精简版---激光原理知识点+复习90题

激光原理习题集

第一章

激光的基本原理

第1讲.激光发展史，第2讲.激光产生机理与特性

名词解释与简答题????

自发辐射受激辐射增益

光学谐振腔的作用

夏珉习题(1.1-1.9)

2.1（夏珉习题1.1）为了使氦氖激光器的相干长度达到1km，它的单色性???0应为多少？解：相干长度Lc?将v1?

cc=

?vv2?v1

带入上式，得：

c

?1

，v2?

c

?2

?02?1?2，因此Lc??

?1??2?????0

?

?0Lc

，将?0?632.8nm，Lc?1km代入，得

???0

?

632.8nm

?6.328*10?10

1km2.6（夏珉习题1.6）一光束入射到长为10cm、增益系数为0.5cm-1的工作物质中，求出入射光强比值。

12.9（夏珉习题1.9）考虑某一物质原子体系为简化的二能级系统，即只含有上能级E2和下能级E1,该物

质能否作为灯泵激光器的工作物质？为什么？如果必须采用该种物质构造激光器，应该采取什么手段对激光器的设计进行改进？

解答：不能灯泵，因为根据二能级系统的速率方程可以推出受激吸收和受激辐射概率是一样的，如果一定要构造，用电泵浦或者其他泵浦方式

?dn2??w(n?n)?nA12221???dt???dn2???0为稳定??dt???

n2w

=?1?n2?n1,故不能实现粒子数反转n1A21?w1

2.10试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命为?s?

A21。

证明：根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低能级在单位时间内粒子数的增加。即：

?dn21?dn2??????dt?dt?sp其中等式左边表示单位时间内高能级上粒子数的变化，高能级粒子数随时间减少。右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上自发辐射下来的粒子数。

再根据自发辐射跃迁几率公式：

A21?

dn211dn??，把??21??A21n2代入上式，dtn2?dt?spdn2??A21n2dt得到：

对时间进行积分，得到：n2?n20exp??A21t?（其中n2随时间变化，n20为开始时候的高能级具有的粒子数。）

n2?e?1时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命，用字母?s表示。按照能级寿命的定义，当n20因此，A21?s?1，即：

?s?

1A2122.11（1）一质地均匀的材料对光的吸收为0.01mm?1,光通过10cm长的该物质材料后，出射光强为入射

光强的百分之几？（2）一光束通过长度为1m的均匀激活工作物质，如果出射光强为入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。

??z

I(z)?Ie解：（1）0

I(z)

?e??z?e?0.01*100?36.8%I0

（2）

I(z)?I0e

2?e

g0z

g0z

I(z)g0z?e，I0ln2?1

g??0.7m，

L

0

第二章光线的传播及高斯光束第二章-----重要知识点光线传输矩阵、光线方程、波动方程、高斯光束、高斯光束的传输变换、ABCD法则、高斯光束的聚焦、准直、匹配、高斯光束的自再现变换名词解释与简答题????????

q参数表达式

重点：高斯光束的三种表达式。

光束半径，瑞利长度，远场发散角，贝塞尔光束。高斯光束匹配、高斯光束的自再现变换周期性光学系统b=(A+D)/2的求证过程。球面反射镜腔ABCD矩阵求解基本过程。

非常重要必考题：画出厄米高斯光束模式TEMmn图样。高斯光束ABCD法则

3夏珉习题（2.1-2.20

第3讲.典型激光器、光线传输矩阵

?AB?

3.1现有一光学系统，其光线矩阵为M???CD??,请写出当光线反向传播时的光线矩阵。

??

证明：

n1d??

1?n2?3.2证明光线通过如图所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为????01??

???1,n1sin?1?n2sin?2,sin?2?tan???

?xdnnn?x?d1sin?1?d1?1 r?r1??x?r1?1d?1

n2n2n2

?n1d?AB???1

n2?????

?CD??01?

????

43.3（夏珉习题2.1）证明：如图所示，当光线从折射率?的介质，向折射率为?的介质折射时，在曲

12?1

率半径为R的球面分界面上，折射光线所经受的变换矩阵为??2??1????2R线凹（凸）面时，R取正（负）值。

R

?10?

。其中，当球面相对于入射光?1???2??

?2P1,2

（下次）

??1?2d??

3.4（夏珉习题2.2）试证明：直角全反射棱镜的传播矩阵为??。其中η为棱镜介质相对折射0?1??率，d为棱镜的高。

方法一：

52d?2d???1?1??10????????M?????????01??0?1??0?1?????方法二：

1

h?L?d2

?10?

?r2??10??1h???10??1L??10??1h???

1??????????????????2??0???01??0?1??01??01??01???0????2d??

?1?

??，光线在光轴上方，r>0,反之，r<0。??

???0?1???

3.5（夏珉习题2.3）一个折射率为η2的薄透镜放置在折射率为η1的介质中，将该透镜看成两个非常靠

近的球面折射面组合而成，两球面的曲率半径分别为R1,R2，试证明：该透镜的焦距为证明同题2.1，

?1

T1????2??1??R?2?AB????T1?T2,?CD?

1?1??2?11??????f?1?R1R2?

0??1

?,T??1?2???1??2??R?2???10?

?2???1??

则

?C?

3.6（夏珉习题2.4）已知习题图2所示的环行腔，试画出其等效透镜波导图，并求d和R满足什么条件时，傍轴光线可在其中往返无限多次，即满足稳定性条件。

6?1?AB??1d??T??2????CD???01????R0??112d???????2?1?01????R0??1??令?1?

A?D

?1则为稳定腔2d

??0,0.5?,?1,1.5?时为稳定腔。R计算后，当

3.7（夏珉习题2.5）一块折射率为?，厚度为d的介质放在空气中，其两界面分别为曲率半径等于R

的凹球面和平面，光线入射到凹球面。求：（1）凹球面上反射光线的变换矩阵；（2）平面界面处反射，球面界面处折射出介质的光线变换矩阵；（3）透射出介质的光线变换矩阵。（第3讲作业题）解：

一、

?1

（1）为凹球面上反射光线，T1??2

???R0??1??

（2）平面界面上反射，在折射出介质，

70??10??1

1d101d?????????T2??1????11???????????01??01??01????R??

??R???

??12d??1+2d???R????

?2???1??d???1???R???1?

1+2d??2?R?R??

（3）透射出介质

0??1

?10??1d???T2????????11??0???01???R??

??

??1d??1?d??R??

?=?

???1?

1??

?R?

3.8如图所示某厚透镜，H1和H2分别为主平面，f为厚透镜的等效焦距，试分别用（h1,h2,

（R1,R2,d）写出厚透镜的光线矩阵。

f

）和

?1解：M??

?0?1?

M???1??2??R?12

?1h2?????11??

?f0???1?1???0?

?1??h1????1??

???

h2f1fh1?h2?

h1h2?f??h?1?1?f?

?10?0?

??1d????2???????11??01??2????R??1???21?2?

8??2??1d?1???2R1??

?????1?2??1d?121????1???

?1?R2R1?2R2R1??

???

??????

???

?2??1d?

?

?2R2?

?

?1d?2

?9第4讲.光线稳定条件、光的传播

第三章

名词解释与简答题???????????

光学谐振腔的作用

光学谐振腔类型的g1、g2判据光腔稳区图稳定性判断σ圆法自再现模，本征函数Fox-Li数值迭代法厄米-高斯光束的模式图拉盖尔-高斯光束的模式图非稳腔的特点非稳腔的几何放大率双凸腔轴线上的共轭像点

光学谐振腔

4.1试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。

12L2L2L21

解：共轴球面腔的?A?D??1?，如果满足?1??A?D??1，则腔是稳定腔，反之为??

2R1R2R1R22非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。

12L2L2L22L

对于平凹共轴球面腔，?A?D??1????1?

2R1R2R1R2R2(R1??)

所以，如果?1?1?此，只要满足

2L

?1，则是稳定腔。因为L和R2均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，因R2LL?1，就能满足稳定腔的条件，因此，?1就是平凹腔的稳定条件。R2R2类似的分析可以知道，

10凸凹腔的稳定条件是：R1?0R2?L,且R1?R2?L。

双凹腔的稳定条件是：R1?L，R2?L

（第一种情况）

R1?L，R2?L且R1?R2?L（第二种情况）

R1?R2?R?

L2（对称双凹腔）

4.2（第4讲习题）激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M的凸面镜和曲率半径为2M的凹面镜构成，工

作物质长度为0.5M，其折射率为1.52，求腔长L1在什么范围内谐振腔是稳定的。设腔长为L1，腔的光学长度为L，已知R1??1m，R2?2m，L0?0.5m，?1?1，?2?1.52，

12L2L2L2

解：根据?A?D??1?，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：??

2R1R2R1R2

12L2L2L2

?A?D??1????1?L?L221M2M1M?2M因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。

即L?

L1?L0?1

?

L0?2

?

L1?0.50.5

?，代入上式，得到：11.522L?0.50.5?1

?A?D??1?L?L2?1?L1?0.5?0.5????1?211.52?11.52?

要达到稳定腔的条件，必须是?1?

1

?A?D??1，按照这个条件，得到腔的几何长度为：21.17?L1?2.17，单位是米。（作图）

114.4（夏珉习题2.19数据有改变）如图2.8所示，波长??1.06?m的钕玻璃激光器,全反射镜的曲率半径

R=1m，距离全反射镜0.44m处放置长为b=0.1m的钕玻璃棒，其折射率为n=1.7。棒的右端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。(1)判断腔的稳定性;(2)求输出端光斑大小；

(3)若输出端刚好位于焦距f=0.1m的薄透镜焦平面上，求经透镜聚焦后的光腰大小和位置。

解:(1)如图所示，等效腔长L'?a?由等效腔长可得：g1g2??1?

??

b

??0.44m?

0.1

m?0.5m1.7L'??L'??0.5??0.5?

1??????1???1???0.5R1??R2??1????

所以0?g1g2?1，该腔为稳定腔（半共焦腔）(2)此往返传输周期的光线矩阵为

?10??1T????01???0?1L'??2?1????R0???1?1??0?L'??0???1???2m?10.5m??0?因为稳定腔内的高斯光束自再现,故有

qout?

Aqout?B0.52

?m，解得qout??i1m

Cqout?D?2qout22??0qout?if?i

?2??01

?m，比较以上二式可得

?2?1.06?10?6m2即?0?m??0.41mm

2?2?'

(3)当物距l与透镜焦距f相等时，像方束腰半径?0?

?f

?82?m??0

124.5（夏珉习题3.1）试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，

而且两次往返即自行闭合.

证明：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。

设两个凹镜的曲率半径分别是R1和R2，腔长为L，根据对称共焦腔特点可知：

R1?R2?R?L

因此，一次往返转换矩阵为

???2LL???1?2L1????R?R2?AB??2???T??????2L?2L??2L???2L???CD???2?2??????1?R????R???1?R????1?R????RR?121112?????????????把条件R1?R2?R?L带入到转换矩阵T，得到：

?AB???10?

T??????

?CD??0?1?

共轴球面腔的稳定判别式子?1?如果

1

?A?D??121

?A?D???1或者1?A?D??1，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中，22因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。

?10?经过两个往返的转换矩阵式T2，T2???

?01?

?r??r??r1??10??r1?

坐标转换公式为：?2??T2?1?????????

???01???2??1??1???1?

其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。

134.6（夏珉习题3.2）设光学谐振腔两镜面曲率半径R1??1m,R2?1.5m，试问：腔长L在什么范围内变化

时该腔为稳定腔。解：由题意

稳定腔的条件为-1?

1

(A?D)?1212L2L2L2(A?D)?1???2R1R2R1R22L2L2L2即-1?1????1

R1R2R1R2

R1??1m,R2?1.5m代入上式解得：0.5m?L?1.5m

4.7（夏珉习题3.4）对于习题图3.1所示的腔，忽略象散对稳定性的影响。证明：当R1?2L1,R2?2L2时，该腔是非稳腔；仅当R1?R2时，该腔是临界腔。

解：一个周期内传输矩阵为

?1

?10??1L2??T???????2

?01??01??R?2?2L2L22L24LL2?1?R?R?R?RR11212

???

C?

?

0??1

1L????

2???1????01??R??1B

0?

??1L1???1?01????

??AB??????

2L2L12L14LL1??CD?1????R2R1R2R1R2??

所以

?111?2?L?L?L

?A?D??1??L?L1?L2?????122R1R2?R1R2?

L?11?L

当R1?2L1,R2?2L2时，?A?D????1?2???1,当且仅当L1?L2时，等号成立。

22?L2

L1?

14结论：当R1?2L1,R2?2L2?L1?L2?时，

当R1?2L1,R2?2L2?L1?L2?时，

1

?A?D???1，非稳腔；21

?A?D???1，临界腔。24.8（周炳琨习题2.4）如图所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半

径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，（2.2.7）式中的f?

?Rcos??2，对只在与此垂直的平面内传输的

弧矢光线，f??R2cos??，?为光轴与球面镜法线的夹角。

?10??1

???1TR??2

??1????f?R??

解：

0?

?1???

（2.2.7）

该三镜环形腔的往返矩阵为：

?1

101L?????T???????1

0101?????f?L?L?

A?D?1?3???

f?f?

20??1

1L????????11?01??f????0?

??1L???AB?????1???01??CD??

15由稳定腔的条件：?1?

?L??L?1LL

?A?D??1,得：0???1???2??2，?f?或f?L232?f??f?

若为子午光线，和光轴同轴，由f1

?Rcos30??

°

2

则4L2L4L?R?或R?3333L3L?R?或R?3R23°

若为弧矢光线，和光轴不同轴，由f2?R2cos30，则??4.9如图所示，腔内有其他元件的两镜腔中，除两面反射镜外的其余部分的变换矩阵为ABCD，腔镜曲

率半径为R1、R2，证明其稳定性条件为:

0

?1 0??1 0?XA B?s???X1????A B????2??????2 1??C D????????? 1C D?????5?（反向）（正向）?1?RR?????1??2??1 0?X?s???D B????????2 1??C A????5?R???1??1 0??2??A B??? 1??C D???R???2??X1?????1? B＇??X1??Xs??A＇

????????＇＇

?5??C D???1?

A＇? D＇BB

?1，A＇? D＇?（4D-）?（A?）-2?4g1g2?2稳定时，?1?

R1R22由于?1?4g1g2?2?1?0?g1g2?1

16第5讲.高斯光束

5.3（夏珉习题2.8）2.8某CO2激光器，输出高斯光束波长为10.6um，远场发散角（全角）为1.5mrad。

求与束腰处相距10cm,1m,10m,1km处的光斑大小即波前曲率半径。发散角（全角）2??1.5mrad，??10.6?10?6m；

??0??4.5?10?3m，

??由?(z)

2??0

f??6.00m；

?f2z2可得??01?()，Rz?z?zfR(10cm)?360.1mR(1m)?37.0mR(10m)?13.6mR(1km)?1000.0m?(10cm)?4.500mm?(1m)?4.562mm?(10m)?8.746mm?(1km)?750.0mm

5.5（夏珉习题2.10数据有改变）若已知某高斯光束之?0?0.3mm，??632.8nm，求束腰处的q参数

值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。

11???i,R(0)??解：2q0R(0)??0

??02?if?i?44.66cm束腰处：q0?i?根据公式;q(z)?z?q(0)得：

z?30cm:q(30cm)?(30?44.66i)cm

175.8（夏珉习题2.20）从高斯光束q参数定义式

11???i2出发，证明q=if+z(其中f为高斯光q(z)R(z)??(z)束的共焦参数，,z为距高斯光束光腰的距离)。

11?f2z??i2;?(z)??01?()2由定义，另外有R(z)?z?q(z)R(z)??(z)zf代入得：

z2f2??0(1?2)z?

fzz1z?if?2?i?

z2z?f2z2?f2f?(1?2)

f21?q(z)1f2z?

z?i

??

1

?i

??fz2???(1?2)

?fz2?f2(z2?f2)?(z?if)

??(z?if)则可知q?

z?if(z?if)*(z?if)故得证

22?????0?1

???。?F?l1???ql?l?q5.11试用自变换公式的定义式cc0，利用q参数来推导出自变换条件式?2???l?????

证明：

2

??0

证明一原始矩阵法：设高斯光束腰斑的q参数为q0?if?i，腰斑到透镜的距离为l，透镜前表

?面和后表面的q参数分别为q1、q2，经过透镜后的焦斑处q参数用qc表示，焦斑到透镜的距离是

lc=l，透镜的焦距为F。

根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：

18透镜前表面：q1?q0?l透镜后表面：

111??q2q1F焦斑的位置：qc?q2?lc把经过变换的q2?

Fq1代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得到：F?q1

Fq1?

?lc?F?q1??lc?l

?2???qc?q0?if?i0???

q1?q0?l?qc?q2?lc?

22?????0?1

????由此可以推导出F?l1??

2???l?????

证明完毕。

证明二：简易方法

?1?1

w=w'所以??Im1/q????(z)0C

?'20??20?

1??l?2?1???0?1??1????2?2??0??F??F????l????02?2?F??1???

2???l???

2l?21???0??

?1???2??

F?F????

2

5.12（夏珉习题3.3）三个平面反射镜组成的等边三角形的环形腔，每边长为L，其中一边的中点放有焦距为f的透（1）画出该腔的等效透镜波导；（2）L/f为何值时该腔时稳定的；（3）求出光腰的位置和大小。

解：（1）

19（2）传输矩阵为

?A??CB??1???D???1/f?10??13L??????1??01???1/f?3L?1?3L/f?由稳定腔的条件?1?

L4A?D

?1可得0??

f32（2）透镜后表面处为q1

Aq1?B?3L?i12Lf?9L2?q1，可得q1?则有

Cq1?D2束腰处距离透镜后表面距离z，则q0?q1?z由束腰处Re?q0??0可得z=3L/2

?12Lf?9L2??0?Im?q0??

?2?直接用双曲线公式R=2f。z=3L/2,求出z0即可。

5.13（周炳琨习题2.20）激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，

今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束焦参数f的实验原理及步骤。

解：设计如下：首先明确焦参数的构成元素为腰斑半径

?0，波长λ及?参数，根据提供的数据，激光

器的波长为已知，我们不可能直接测量腔内的腰斑半径（因为是对称腔，束腰在腔内），只能通过技术手段测量发射出来的光波场的腰斑半径，然后利用??z??

?z?f??1???这里的z是由激光器腔中心??f?2到光功率计的距离，用卷尺可以测量。光功率计放置在紧贴小孔光阑的后面，沿着光场横向移动，测量出??z?。把测量的??z?和z代入公式，可以求出焦参数。

设计完毕（以上只是在理论上的分析，实际中的测量要复杂得多，实验室测量中会用透镜扩束

及平面镜反射出射光，增加距离进而增加测量精度）

20第6讲.高斯光束的传输变换

6.1（夏珉习题2.11数据有改变）波长为?的高斯光束入射到位于z?1（图3.1）处的透镜上，为了使

出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L），透镜的焦距f应为多少？画出解的简图。

解：如下图所示

21??02

束腰处：q0?i

?透镜左侧：qf?q0?1透镜右侧：

111??q'fqff

样品表面处：q'?q'f?L

2

??0222??0

f?1?()f

??q'?L?f?i2??02??02222

(f?1)?()(f?1)?()

???1?

样品表面处即束腰位置，则Re??q'???0

??

??022

f?1?()

?即L?f?02??(f?1)2?(0)2

???022??0222

?(L?1)f?[2L?1?()]f?L?L()?0

??82

??022?4?02??02

2L?1?()??(2?4L)()?14

????f?

2(L?1)

226.3某高斯光束腰斑大小为?0?1.14mm，??10.6?m。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑

半径?及波前曲率半径R.

z2f2解:?(z)??01?(),R(z)?z?

fz,其中

??02f??0.385m

?z?30cm:?(30cm)?1.45mm,R(30cm)?0.79mz?10m:?(10m)?29.6mm,R(10m)?10.0mz?1000m:?(1000m)?2.96m,R(1000m)?1000m

6.5如图所示，假设一高斯光束垂直入射到折射率为n的介质块上，试问：(1)在左图情况下，出射光束发散角为多大？(2)若将介质块的位置左移，使其左端面移至于介质块内，此时束腰大小和位置是多少？

z??l1处（右图）

，若介质块足够长，使光束的光腰位

答案：（1）因为折射率介质只改变光束长度方向矩阵，不改变角度。所以经过过介质后出射光线的发散角，和原来光束一样，只是光腰位置会发生变化。自己计算发散角公式。

解：（1）

2??0?iZR入射高斯光束q0?i?入射到介质后表面出射，再进入自由空间传输的变换矩阵为

?10?

1z?l101l?l????1l1?2??21???(z>l2)M??1?????????010n010??01????????

n??

23??1??1z?l?l??21?1?????AB????n?????CD???0?1??那么q?z??

Aq0?B?1?

?iZR?z??l2?l1??1??

Cq0?D?n?

令z'?z??l2?l1??1??

?

?

1?n?

1

?2?z???

??1?Im?????qz????

?z'?1????ZR?2??z???0发散角2??2d??z?2?z'?2dz??0?z'2?ZR?l2?l1时，发散角为2??n

当z?l2，即z'?l1?

2??nl1?l1?l2?n??02?l2?l1????0?l????1??n?????22z??时，z'??，远场发散角2??

2???0

，与不通过介质块是一样的。

可以看出，高斯光束经过长度为l折射率为n介质块，只是相当于在自由空间中传播距离z减了

?1?

l?1??，而其远场发散角不会发生变化。?n?

(2)

2??0?iZR初始的高斯光束q0?i?那么在A点，高斯光束qA?q0?l1?iZR?l124?10?

?AB???经过介质块表面的折射，变换矩阵为????1?

??CD??0?n?

那么代入可以求得qB?

AqA?B

?nqA?n?iZR?l1??inZR?nl1

CqA?D假设变换后的高斯光束束腰在C处，则

qC?qB?l1?lC?inZR??1?n?l1?lC

处于束腰位置时，q参数的实部为零所以real?

?1?

??0q?C?

??02即?1?n?l1?lC?0，lC??n?1?l1，qC?inZR?in

?再利用

1

?0'2??

?1??1imag???2??qC?n?0

求出束腰半径变为?0'?n?0。

结论:束腰半径位置在z??n?1?l1处，大小变为?0'?n?0

6.6一高斯光束的光腰半径为?0，腰斑与焦距为f的薄透镜相距为l，经透镜变换后传输距离l0，又经一折射率为?，长为L的透明介质后输出，如图3.5所示。求：（1）高斯光束在介质出射面处的q参数和光斑半径。（2）若介质移到薄透镜处，即l0?0（不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角?。

解：（1）高斯光束经过的变换矩阵为：

25L??10??

1l?AB??1??0???1l????1???????????1CD0101???01????f???

??????1?L?1??L???1??l0??l??1???l0???

f???f??????????11

?1???ff??

??02q0?i，高斯光束的介质出射面处的q参数：

?2?1??L??i??01??L?1?l??l?1?l???0??0??f???f?Aq0?B?????????

q'??21i??01Cq0?D??1?f?f光斑半径

1

?2??

?1??Im????q'?

(2)当l0?0时，变换矩阵变为

L??1?

?AB??1?10??????????1??01??CD????01??f???

?L

0??1?

f???1l???

??1???01???1

??

f?

?1?L?

l??1???

f????

?1

1??

f?

??02q0?i，高斯光束的介质出射面处的q参数：

?2

??1?LL?i??0?1?f????l??1?f??Aq?B?????q'?z'q'?0?021i??01Cq0?D??1?f?f26输出高斯光束的远场发散全角?'?

2?'??0

第7讲.高斯光束的聚焦、准直

7.1（夏珉习题2.17数据有改变）某高斯光束?0?1.2mm，??10.6?m。今用一望远镜将其准直。主镜

用镀金反射镜R?1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，F1?2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距l?1m，如图所示，求该望远系统对高斯束的准直倍率。

解：

?l?2F2?(l)?(l)M'??M?M1???F1?0?0?f?F11M'?M1?()2?21?()2fF1f??02?0.427m，F1?2.5cml?1m，f??27特别注意凹面镜F2?

R

?0.5m2M'?50.95

7.2（夏珉习题2.18数据有改变）某高斯光束?0?1.2mm,??10.6?m。今用F?2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。

??02?0.43m解:f??2

(l?F)F'

根据公式l?F?

(l?F)2?f2'2

?0

F2?02

?

(F?l)2?f2l?10m:l'?2.004?10?2m,?0'?2.40?10?6ml?1m:l'?2.034?10?2m,?0'?2.25?10?5ml?10cm:l'?2.017?10?2m,?0'?5.53?10?5ml?0:l'?1.996?10?2m,?0'?5.62?10?5m

可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变，在透镜焦点位置。

7.3二氧化碳激光器输出光??10.6?m,?0?3mm，用一F?2cm的凸透镜聚焦，求欲得到?0'?20?m及

2.5?m时透镜应放在什么位置。

22F?'2??00?2.67m，?0?解：f?

(F?l)2?f2?2（1）(F?l)?

F2?02

?0

2?f2?1.885m2?f2?568.9m2

l?1.39m

（2）(F?l)?

F2?02

?0

2l?23.87m

287.4（夏珉习题2.12数据有改变）如图，已知：

?0?3mm,??10.6um,z1?2cm,d?50cm,f1?2cm,f2?5cm。求：?02和z2，并叙述聚焦原理。

解答;

两次使用聚焦矩阵和焦平面计算公式就可以.实部求像距。虚部求光腰第一次直接求出l1。

第二次，因为l1-f2大于大于原始锐利长度。简化公式！！！求出z2

(l?F)F2??l'?lC?F?(l?F)2????20/??2??21?1?l?21???0??因为1/（Rz）=0.所以2??Im?1/qC??2?1???2????'0??0?F?F????解:先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于第一个透镜处的物距z1?f1，所以像距

'

z1'?f1?2cm，像方束腰半径?0?

?f1?22.49?m??01

接着对第二个透镜，有

'2??0物距z2?d?z1'?48cm，瑞利长度ZR?

?已知f2?0.05m，根据像距z

'2

'z2?f2?f22??0f2?f2???,像方束腰半径202222?z2?f2??ZR?f2?l2??ZR'

得z2?5.58cm,?02?2.61?m

29聚焦原理

第一个透镜，物距等于焦距。具有最大焦点，用于扩束，减小发散角。第二个透镜，物距很长，用于聚焦很小。

7.5（周炳琨习题2.22）用焦距为F的薄透镜对波长为λ、束腰半径为?0的高斯光束进行变换，并使变换

2??0

后的高斯光束的束腰半径???0（此称为高斯光束的聚焦），在F?f和F?f(f?)两种情

?'0况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离？（2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不变，如何选择透镜的焦距F？解：

(l?F)F2??l'?lC?F?(l?F)2????20/??2??21?1?l?21???0??因为1/（Rz）=0.所以2??Im?1/qC??2?1???2????'??FF?????00??0?2'2F2?0?F?l?2????????'020????2??F?l?2?f22F2?0???030'?0F2??1222?0?F?l??f

22

l?2Fl?f?0即

2l??f?（1）定焦变距。。当F?f时，须?1??1??????F??F?

2222解得：l?F?F?f或l?F?F?f22

?0'

当F?f时，总满足?1，并在l?F时，最大。

?0

F?'0???0??0f（2）定距变焦。。l不变：

F???'2020?

F2?F?l?2?f

2?1

l2?f2?1?F?222l?F?l??f

''l?07.6（夏珉习题2.12数据有改变）如图2.2所示，入射光波长为10.6微米，求及3。

F2解：经过第一个透镜后的焦斑参数为：

31'2?0?2F12?0?F1?l1?'0

22???0???????2?F110.6?10-4?2

解得??==0.00225cm?22.5um

??03.14?0.3l1'?F1??l1?F1?F122???0?2?l1?F1???????2解得l1'?F1=2cm则l''?l2?l1'?15cm?2cm?13cm经过第二个透镜后的焦参数为：

?0?

''

'2

F22?0?F

将l''?l2?l1'?15cm?2cm?13cm代入可得

2

?l

''2

?'2

???0???????

252?0.002252

?0?=?197.75390625?10?8cm2

22'23.14?0.0022522???0?（5-13）''2+（）?F2?l?????10.6?10-4??

''

'2

F22?0

''?82即?0?197.75390625?10cm?0.014mm

32l3?F2?

?l

''

?F2?F22

'20

2

2????''

l?F??2????

??

=5+

?13?5??52

?3.14?0.00225?2

13?5?????-4

?10.6?10?

2

2

=8.125cm

7.7一染料激光器输出激光束的波长为??0.6328um，光腰半径为60um。使用焦距为5cm的凸透镜对其聚焦，入射光腰到透镜的距离为0.50m。问：离透镜4.8cm处的出射光斑为多大？

(l?F)F2??l'?lC?F?(l?F)2????20/??2???1?l??1??Im1/q?1????C2???20?F????'021?????F2??0???2??02解：瑞利长度为ZR?，根据公式可得：

?(l?F)F2

l'?F?2(l?F)2?ZR

?0

'2

F2?02

?2(F?l)2?ZR

'F?5cm，代入数值计算得到l'?55.56mm，?0?6.66?m。

d?48mm，所以所求出射光斑在出射束腰和透镜之间，z??(l'?d)??7.56mm

又?'?z???0'

?z??1??'2????0?2代入z，可以求得?'?z??228.3?m

33第8讲.高斯光束的匹配与自再现

8.1（夏珉习题2.13数据有改变）两支氦氖激光器的结构及相对位置如图所示，求在什么位置插入一焦

距为多大的透镜才能实现两个腔之间的模匹配？

做题思路

?2z2???z?2?2?2???(z)??0?1??2????0?1?2?(1)?z0?????0n????????20n?2??z20?(2)?R(z)?z?1?????z?1?2??z?????z?????1?z??1??z??(z)?tan?tan(3)?????2???0n??z0????20n?z0?(4)???高斯等相位面公式，求出f=z0，z=L，R=球面曲率，求出w0，

2z??0?R(z)?z1???2?z???

??

?0?22l?F??F?f0???'0?

?l'?F???'0F2?f20??0?

答案：

?f2?

等相位面曲率半径为R?z?1?2?，可得f?z?R?z?z??

对于左边的腔有R1?1m?100cm,z?L?30cm，所以f1?L(R1?L)?45.83cm

34??L?)?25cm右边的腔f1??L?(R1两腔相对位置总长度l0?50?25?75cm

f?45.825???2.0925f2545.8?w0w0

A???

?w0w0

f?f?

f0?

ff??45.8?25?33.83cm

A(A2?4)f02?l02?2l02.0925?(2.09252?4)?33.832?752?2?75F???34cm22A?42.0925?4l?F?l??F?

w0?w0?w0w0F2?f02?F?F2?f02?F?

fF2?f02?34?f?f?F2?f02?34?f45.8?342?33.832?34?4.5cm2525?342?33.832?34?2.5cm45.8l+l’=75cm,所以l=38.5cm,l’=36.5cm。

8.2（夏珉习题2.14）从腔长1m的对称共焦腔中输出的高斯光束，入射到腔长为5cm，曲率半径为10

cm的干涉仪中，两腔相距50cm。为实现模式匹配，应在何处放置焦距为多大的透镜？

fL?

L?50cm,fR2?5?(10?5)?25?fR?2

25?5cm；

22

匹配公式为(4?A2)F2?4l0F?(l2?Af0)?0，0

?0L??0RfL?fR???50?3.16，0R?0.32,A?0L?0R?3.48,A2?12.11

?0L?0R?0L522???0L??0R????0L0Rl0?lL?lR?55cm,f0?,f02???fL?fR?50?5?250

???(4?12.11)F2?4?55F?(552?12.11?250)?0，?8.11F2?220F?6052.5?0

解得F?16.94cm,

lL?F??lR?F???0L?0R?0R?0LF2?f02?lL?16.94?3.1616.942?250?16.94?19.21F2?f02?lR?16.94?0.3216.942?250?16.94?1.95l0?lL?lR?55cm，故可知均取正号才有意义，得lL?36.15cm最后可得距左边透镜36.15cm位置放置一个焦距16.94cm的薄透镜。

358.3（夏珉习题3.8）一台He-Ne激光器谐振腔由两个曲率半径都为R1=2m的反射镜构成，腔长L1=1m，

利用一个薄透镜将输出的光束聚焦后耦合到另一个光学谐振腔中，第二个光学谐振腔反射镜曲率半径都为R2=10cm，腔长L2=5cm：（1）如果只能使用一个f=1m的薄透镜，请计算出激光器输出镜，薄透镜以及第二个谐振腔输入镜之间的距离。（2）如果激光器输出镜和谐振腔输入镜之间距离只能固定为L=50cm，请计算出需要使用的薄透镜焦距。

（1）

f12?f22?f?

L?R1?L1??R1?L1??R1?R1?L1?2???L1?R1???L1?R1???

L?R2?L2??R2?L2??R2?R2?L2????L2?R2???L2?R2???

2?0.75m2，f1?0.866m，?1?

?f1?0.418mm??0.001875m2，f2?0.0433m,?2?0.093mm

??1?2?0.193m??1?22l?F??F?f??2?l?5.41m?

??'?

??l?1.22m?l'?F??2F2?f2??1?

?激光输出镜距离薄透镜4.91m，薄透镜距第二个谐振腔1.19m。

（2）

A=

?1?2+=4.72,l0?L?0.5?0.025?1.025m?2?1

2

2

2

?4l0F??l0?A2f2??0

?4?A?F

F?0.228m

368.4已知一CO2激光谐振腔由两个凹面镜构成，R1?1m,R2?2m,L?0.5m。如何选择高斯光束腰斑?0的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自再现光束?解：自再现基本理论

1?1?

w=w'所以??Im1/q????(z)0C

?'20??20?

1??l??1???0?

1?1??????2??02?FF???????

2

2

l?21???0??

1?????2?

FF?????

2

2

11????02??

由反射镜焦距公式F?l?1??及球面反射镜等价焦距F?R，两个曲面镜有：??

22???l??

??

????2?2?????2?2?

R1?l1?1??0??和R2?l2?1??0??

?l?l????1?????2???

R1?1m,R2?2m,L?0.5m。

又l1?l2?L=腔长=0.5m，取??10.6?m得：l1?0.375m，l2?0.125m，?0?1.28?10?3m

37第9讲.光学谐振腔：稳定性

9.1（夏珉习题3.7）腔长为L的稳定腔由两个曲率半径都为R的球面反射镜构成，在腔的中心处放置一

个焦距为f的薄透镜。（1）讨论腔的稳定性条件；（2）指出腔内最低阶自再现模式的束腰位置，并研究其高斯光束参数随f,R和L的变化规律。

?1

?AB??T?????2

CD???

?R?AB????

CD??A?D?

2稳定性条件:?1?z?

L?2f?L?0????11????0

L??1?2??1??1???f0??

??11???0??

L??12??2???1??R0????11????0

L??1?2??1??1???f0??

??11???0??

L?2??1?

A?D

?12?L?2f???L?R?所以，束腰位置在左侧反射镜右侧-z处，在右侧反射镜左侧-z处。

38第10讲.光学谐振腔：纵模、横模

10.1（夏珉习题3.5）R?100cm,L?40cm的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？解：由题意

c??q?2?L?L'??L?

c?

??q?q2?L?

c3?108m/s??q???3.75?108Hz2?L2?1?40cm第11讲.平行平面腔自再现模式

第12讲.方形镜共焦腔自再现

12.（夏珉习题3.9）使用对称共焦腔的Ar+离子激光器输出波长为?=514.5nm，共焦腔腔长为L=1m，

试计算：（1）在两个腔镜上和腔中心的光斑半径；（2）两相邻纵模之间的频率间隔；（3）若Ar+例子激光器增益曲线谱线宽度为??=3.5GHz，试计算落在该频率范围内的纵模个数。（1）

R1?R2?L

f?

w0?

l2?f?2.86?10?4m?ws1?ws2?（2）

2w0?4.04?10?4m39?Vq?

（3）

C

?1.5?108Hz2L?Vn??23

?Vq13.1（夏珉习题3.6）设圆形镜共焦腔长L?1m，试求纵模间隔??q和横模间隔??m,??n。若振荡阈值

以上的增益线宽为60MHz，试问：是否可能有两个以上的纵模同时振荡，为什么（杨克成P1193.17）？解：

频率间隔??q????T?

纵模式个数N???1?2?L???q?

c圆形镜共焦腔的谐振频率

?mnqc?1?

?q??m?2n?1???2?L?2?

纵模的频率间隔为

??q??mnq?1??mnq?

c2?L403?108

???q?==1.5?108Hz

2?L2?1c

横模的频率间隔为

1c1c

??m??m?1nq??mnq???q???m???q?=7.5?107Hz

24?L24?Lcc

??n??mn?1q??mnq???q???n???q??1.5?108Hz

2?L2?L由于增益谱线宽度

??=6?107Hz???q,??m,??n

所以，不能有两个或者两个以上的横模或者纵模同时振荡.

13.2（夏珉习题3.8）一台He-Ne激光器谐振腔由两个曲率半径都为R1=2m的反射镜构成，腔长L1=1m，利用一个薄透镜将输出的光束聚焦后耦合到另一个光学谐振腔中，第二个光学谐振腔反射镜曲率半径都为R2=10cm，腔长L2=5cm：（1）如果只能使用一个f=1m的薄透镜，请计算出激光器输出镜，薄透镜以及第二个谐振腔输入镜之间的距离。（2）如果激光器输出镜和谐振腔输入镜之间距离只能固定为L=50cm，请计算出需要使用的薄透镜焦距。

f12?f22?

L?R1?L1??R1?L1??R1?R1?L1?2???L1?R1???L1?R1???

L?R2?L2??R2?L2??R2?R2?L2????L2?R2???L2?R2???

2?0.75m2，f1?0.866m，?1?

?f1?0.418mm??0.001875m2，f2?0.0433m,?2?0.093mm

（1）f???1?2?0.193m

??1?

l?F??F2?f2??2?l?5.41m?

???'

?'22?l?1.22m?l?F??2F?f??1?

?激光输出镜距离薄透镜4.91m，薄透镜距第二个谐振腔1.19m。

41A=

?1?2+=4.72,l0?L?0.5?0.025?1.025m?2?1

（2）?4?A2?F2?4l0F??l02?A2f2??0

F?0.228m

13.4（夏珉习题3.11）一台激光器输出波长?=10.6um，使用半共焦腔，即平凹腔腔长满足条件

L?R/2，其腔长为L?2m，试计算：（1）束腰位置；（2）两个腔镜上的光斑半径；（3）两个

对应模式的相邻纵模之间的纵横间隔；（4）在典型低压CO2增益介质的增益曲线频率宽度

???50MHz内可以存在多少个TEM00模式的纵模。

（1）由题得

R??

R2?2L?4m

L?R2?L?Z1??L?2m

?L?R2??L?R1?即束腰在平面镜上（2）

???L?R1???L?R2???

=L?R2?L? =4

ws1?w0?

f2?

L?R1?L??R2?L??R1?R2?L?2f=2m

?f?3.67?10?3m?2?l?ws2?w01????4.10?10?3m

?f?（3）

C3?108m/s?Vq???7.5?107Hz

2L4（4）

42?V5?107

n???1

?Vq7.5?107故存在一个纵膜

13.5（夏珉习题3.12）一个对称凹球面镜腔，腔镜曲率半径为R=4m，腔长为L?1m：（1）若该谐振腔

用于构造激光器输出?=514.5nm的激光，试计算在腔的中心和两反射镜上的光斑半径；（2）如果用一个平面反射镜替代其中一个球面镜，试计算两反射镜面上的光斑半径。第一次双曲线公式就可以，很简单第二次，光腰在平面镜，双曲线

?1?f2?

L?R1?L??R2?L1??R1?R2?L????L?R1???L?R2???

2?1.75m2，f?1.323m

中心光斑半径??

?f?0.465mm?z2两反射镜上的光斑半径??z???1?2?0.498mm

f?f2?2

?2?R?z???z??,f?3m2

z??平面镜处的光斑半径??

?f=0.533mm?z2球面镜处的光斑半径??z???1?2=0.615mmf4313.6（夏珉习题3.13）焦距f是共焦腔光束特性的重要参数，试以f表示w0，w(z)R(z)和q1/2。因为f

0

与w0是一一对应的，所以也可以用作为表征共焦腔高斯光束的参数，试以w0表示w(z)，V00R(z)

和q1/2。

?fw0?

?L??z2?w?z???1?2?2??f?f2

R?z??z?

z

V00?2?f02?1?

2?f?w?z??

L???2z2?1?24???2???w0??V00?

02?2w04??2w04

R?z??z?2?zQ1?

2??w0

13.7（夏珉习题3.14）一台输出波长为?=630nm的激光器，激光在谐振腔中渡越一次可以提供2%的增

益，该谐振腔由两个曲率半径均为R=10m的反射镜构成，腔长L=1m，请选择合适的反射镜口径，是腔内只能存在最低阶的TEM00模式，其余高阶模式能够得到有效抑制。

f?

2

L?R1?L??R2?L1??R1?R2?L????L?R1???L?R2???

2?f?2.18m

?fz2???0.66mm,??z???1?2?0.68mm

?f?反射镜的半径为0.68mm

13.9（夏珉习题3.16）某CO2激光器，采用平-凹腔，凹面镜的曲率半径R=2m，谐振腔长度L=1m，试

计算它所产生的高斯光束的束腰位置和束腰半径?0，及其准直距离f和远场发散角?。束腰在平面镜处??10600nm

44从平面镜出发的往返矩阵为

?11??10??11??01??????????01?1101?10????????

得到

w0?0.0018m

由w0?

?f得??w02f??0.9603m

??0?lim

2w?z?z?1.128?fz??

?0.0037

13.10（夏珉习题3.17）激光谐振腔两腔镜的曲率半径分别为R1=20cm,R2=-32cm,腔长L=16cm,在其中震

荡的激光频率为,试求其自再现模式的束腰位置和束腰半径，以及两个反射镜面上的光斑大小。

g1?1?f2?

L1L3?,g2?1??,腔为稳定腔R15R22???L?R1???L?R2???

2L?R1?L??R2?L1??R1?R2?L??f?0.067m

?0?

?f?0.113mm?L?R2?L?z1???17.45cm

L?R?L?R??1?2?z2?

?L?R1?L??L?R1???L?R2?1/2

??1.45cm

束腰位置在R2镜的外侧1.45cm处

2

?s1??0?1??z1/f??

??

?0.315mm?0.116mm

452

?s2??0?1??z2/f??

??

1/2

13.11（夏珉习题3.18）某共焦腔氦氖激光器，波长??0.6328um，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm，

试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长??3.39um，问：此时镜面上光斑尺寸多大？解：

2??0s?L?0s??L??1.24m

???L'???1.16mm

?'0s

牢记公式符号，R1在左，对应z1.。。。R2在右，对应z2.做题才有深刻体会

13.12（夏珉习题3.19）某台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m，输出激光波长

??514.5nm，腔镜曲率半径R=4m，试计算基模束腰半径和镜面上的光斑半径。

f?

2

L?R1?L??R2?L1??R1?R2?L????L?R1???L?R2???

2?1.75m2?f?1.32m

?0?

?f?0.465mm??s1??s2??0?1??z1/f

?

?21/2

??

?0.843mm

13.14（光腰腔内，常规题）（周炳琨习题2.8）今有一球面腔，两个曲率半径分别是

R1?1.5m,R2?1m,L?80cm，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。

解：共轴球面腔稳定判别的公式是?1?

1

，?A?D??1，这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分）

2对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式0?g1g2?1判断稳定性，其中gi?1?题中g1?1?

L。Ri

L8L8

?1?,g2?1??1?,g1g2?0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。R115R21046任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。

?R1???z1?f2/z1??

鼻祖公式?R2??z2?f2/z2??

?腔长L?坐标值(z2?z1)

等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标Z1和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到：

Z1?Z2?

F2?

L?R2?L?0.8??1?0.8????0.18M?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1??L?R1?L??0.8??1.5?0.8???0.62M?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L???L?R1???L?R2??2?

0.8??1?0.8???1.5?0.8??1.5?1?0.8??0.235

??0.8?1.5???0.8?1??2因此F?0.485M

等价共焦腔示意图

13.15(光腰在外，假象题，一般以为凹凸镜为非稳腔）（杨克成P1183.5）今有一球面腔，R1?1.5m，

R2??1m，L?80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数。解：g1?1?

LL?0.47g2?1??1.8g1?g2?0.846R1R2

即：0?g1?g2?1，所以该腔为稳定腔。只需要记忆如下。

47?R1???z1?f2/z1??

鼻祖公式?R2??z2?f2/z2??

?腔长L?坐标值(z2?z1)

（千万不要记忆）由公式z1?

z2?

L?R2?L??L?R1???L?R2??L?R1?L??L?R1???L?R2?L?R1?L??R2?L??R1?R2?L????L?R1???L?R2???

2f2?

带入数值，计算得到：z1=-1.31m，z2=-0.51m，f?0.5m说明等价共焦腔的中心在凸镜的右边！！！！！

特别注意R凹面正，凸面负，否则前功尽弃，悔恨终身。

13.16（凹凸镜，光腰在外，右边）（作业题杨克成P1193.14）设R1?20cm，R2??32cm，L?16cm，

??0.6?m。试求：（1）光腰?0的大小和位置（2）两个反射镜上的光斑半径。

解：谐振腔的几何参数g1=1-16/20=1/5,g2=1+16/32=3/2

g1g2=0.3===稳定

?R1???z1?f2/z1??

鼻祖公式?R2??z2?f2/z2??

?腔长L?坐标值(z2?z1)

Z1=-17.4cmZ2=-1.4cmL=z2-z1=16cm

说明，共焦点在右边腔外！！！！！

f=6.726cm,

根据公式求出镜面光斑半径

w0=0.01133cm

?2(z)z2?2?1??0f4813.17（凹凸镜，光腰腔外）（杨克成P1183.5）今有一球面腔R1?1.5m,R2??1m,L?80cm。试证明该

腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：?1?

??

L??L??0.8??0.8?21

1??????1???1???R1??R2??1.5???1?25在0到1之间，因此是稳定腔。如果不想记忆，可以之记忆鼻祖公式

?R1???z1?f2/z1??

L(R2?L)0.8(?1?0.8)鼻祖公式?R2??z2?f2/z2?z1????1.309(L?R1)?(L?R2)(0.8?1.5)?(0.8?1)?

腔长L?坐标值(z?z)21?

z2?f2?

?L(R1?L)?0.8(1.5?0.8)

???0.509

(L?R1)?(L?R2)(0.8?1.5)?(0.8?1)L(R1?L)(R2?L)(R1?R2?L)

?0.25

[(L?R1)?(L?R2)]2这是虚共焦腔，等价焦点在外面，右边！！！

13.18（高级题，概念，图文并茂）（周炳琨习题2.11）今有一平面镜和一个曲率半径为R?1m的凹面

镜，问：应该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。

解：远场发散角（全角）：?0?2?，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最f?大，则可以获得最小的基模光束发散角。

f2?

L?R2?L??R1?L??R1?R2?L??0.252??L?R1???L?R2??代入发散角公式，就得到最小发散角为：

?0?2

????2?22f?0.5??发散角与腔长的关系式：

R=z（1+f/z),平凹腔，L=z，因为R=1m，所以，f=L（1-L)

2

2

?0?2

??2f??L?1?L??4913.19(高级题，基本知识，图文并茂）（周炳琨习题2.12）推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：（1）当R=100cm时，?s1,?s2随L而变化的曲线；（随R而变化的曲线。

解：只需要双曲线公式，求镜面光束半径！！！

14??L??R)s1?

12(R2?L???L(R1?L)(R1?R2?L)??

????L(R?12?L)4,(R1??)?2

14??

?Ls2??R2(R1?L)??L(R2?L)(R1?R2?L)??

??2

1???LR2?4?(R?,(R1??)2?L)?

(1)R2?R?100cm，L变化

（2）L?100cm，R变化

502）当L=100cm时，?s1,?s2?0?

2???0

?1.128

?F?3.67?10?3rad

a2相同而R不同的对称稳定球面腔中，13.20(概念题，实战题）（杨克成P1193.8）试证明，在所有L?共焦腔的衍射损耗最低。L表示腔长，R?R1?R2为对称球面腔反射镜的曲率半径，a为镜的横向线度（半径）。

解：两个球面腔镜的等效菲涅尔数表达式---=记得采用鼻祖公式-双曲线求ws1、ws2：

a12a12Nef1??2??S1R1?(R1?L)(R1?R2?L)a12?L(R2?L)L?g1(1?g1g2)g2Nef2?a22??S22a2?L?a22(R2?L)(R1?R2?L)a22g2??(1?g1g2)因为菲涅耳数愈大，腔的衍射R2?L(R1?L)L?g1ga221?g??1?g2?gL?LR损耗愈低。对于一般的对称稳定球面腔的两个镜面的菲涅耳数为

Nef1=Nef2g?1?可以看出g?0时，菲涅耳数取极大值，而这时L?R,为对称共焦腔。衍射损耗最低。

5113.21(综合题，有意义）（周炳琨习题2.9-答案有争论）某二氧化碳激光器采用平-凹腔，

L?50cm,R?2m,2a?1cm,??10.6um，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。

解：第一步。实际镜面半径！！

根据鼻祖公式，推出两个z1、z2镜面半径?2z2?2???(z)??0?1?f2????2?f???R(z)?z?1?2??z?????20?f????R1???z1?f2/z1??鼻祖公式?R2??z2?f2/z2???腔长L?坐标值(z2?z1)此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：

??g2?s1??0s??

?g1?1?g1g2??

?s2

??g1

??0s???g2?1?g1g2??

1/4??g2?L????

?g1?1?g1g2??

??g1

L????

?g2?1?g1g2??

1/4

1/4?1.687?10?6?1.316?2.22?10?6M

?1.687?10?6?5.333?8.997?10?6M

1/4

?

其中第一个腰斑半径

对应平面镜。

第二步：等价共焦---镜面上式中?0S?

L??是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价

共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。

根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：

?0?

?0S2?

1.687

?1.193?M1.414第三步：损耗

作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。即：

??

1N52根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数

Nef1?Nef1?

??s21a12a12?

0.25?10?43.1416?2.22?10?60.25?10?43.1416?8.997?10

??2?1.615?106??2s1?

??62??9.831?104根据衍射损耗定义，可以分别求出：

?1?

1

?6.2?10?7

Nef1

?2?

，

1

?1.02?10?5

Nef2

13.22试证明在一般稳定腔(R1,R2,L)中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径分别等于各该镜面的曲率半径。

?1

解:T??2

???R?1

0?

??1?1???0?

?1L????21???R?2

0?

??1?1???0?

?2L

1??

R2L??

??

1??24L2

?????RRRR2?112

?

??

4L4L22L?????1??R1R1R2R2?

2L2

2L?

R2

由公式RM?

2B

，参考平面上的曲率半径为D?A4L2L4L?1?

R2R22B

R?||???R1L14L24LD?A??

RRR1R1R2R11253第14讲.非稳定腔

14.1（夏珉习题3.20）一个由平面镜和曲率半径R2=2m的凹球面镜构成的非稳腔，腔长为L=50cm，试计算：（1）该谐振腔在稳区图中的坐标位置；（2）轴上共轭像点的位置；（3）满足何种条件才能使该腔实现从球面反射镜周围的单端激光输出；（4）该谐振腔的往返集合放大率以及往返能量损耗。

?1?g1?1,g2?1??2?l1?Ll2?LL

??24,坐标?1,?24?R2

??0.49

g1g2?g1g2?1??g1g2?g22g1g2?g1?g22g1g2?g1?g2

g1g2?g1g2?1??g1g2?g1??0.99

?3??4?M

?

g21

?24，?=1?2?0.9983g1M14.2（夏珉习题3.21）如图4所示，设CO2激光器共焦非稳定腔的腔长L?1m，波长??10.6?m,如果

要模体积达到最大值，将选择腔的那个支？为了使腔的有效菲涅耳数往返功率损耗

Nef?0.75和单端输出，并使

?往返=20%

，问两镜的直径和曲率半径应选择多大？

答案：一般采用正支非稳腔第一步，求放大率

54?112?1?2?整体往返三维损耗?三维?1?(?1?2)?1?2(m1m2)M?第二步，求曲率半径

?m1?a1'/a1?1

?

R1R2R1g2?

?m2?a2'/a2?2/2?R?g21?

负支腔R1+R2=2L=2*1米=2米第三步，求镜面直径2a

有效菲涅尔---注意尾镜M1的有效菲涅尔数，因为单边输出。

1

M?2g2?1?

g1?1?0?

f?a2

N??0.752??0S

14?????L(R1?L)(R2?L)(R1?R2?L)?

??2?????L?R1???L?R2?????

根据鼻祖公式，推出两个z1 、z2 镜面半径2?2z??2?0s??1??0?2?f???Z1=R1/2

14.3（夏珉习题3.22）对于上一题中设计出的非稳腔，利用几何光学分析方法计算其往返能量损耗，并

讨论输出光斑的形状和尺寸。

?往返=1?

1

?0.2M2该腔是虚共焦腔，故输出环形光斑

5514.4（夏珉习题3.23）证明虚共焦腔下述关系式成立：

M?2g2?1?

1M?1M?12M?2

,g1?,R1?,g2?L,R2?Lg1?12M2M?1M?1式中M为往返放大率，L为腔长，R1,R2为镜面曲率半径，g1,g2为腔的几何参数。证明：

什么叫虚共焦？？？凹凸镜！！！

?m1?a1'/a1?1

?

R1R2R1g2?

m2?a2'/a2?/???22R2g1?

1?M?m1m2?1?L?L?R1?R2??L?R1??L?R2?L?L?R1?R2??L?R1??L?R2?M?m1m2?g2g1?1?1?1/?g1g2?1?1?1/?g1g2??2g1g2?2g1g2?g1g2?1??1两个公式联立求解，得到：M?2g2?1?

12g1?1g1?

M?1M?12M?2,g2?R1?L,R2?L2M2M?1M?1式中M为往返放大率，L为腔长，R1,R2为镜面曲率半径，g1,g2为腔的几何参数。

14.5（夏珉习题3.24）设对称双凸非稳定腔的腔长L功率损耗率。1.解：原始公式?1m,腔镜曲率半径为R??5m,试求单程和往返

111111??;??l1?Ll2F2l2?Ll1F156l1?L?m?1??l1原始??m2?l2?L?l2?1?M?m1m2?L?L?R1?R2??L?R1??L?R2?1?1?1/?g1g2?1?1?1/?g1g2?L?L?R1?R2?1??L?R1??L?R2???2g1g2?2g1g2?g1g2?1??11g1?g2?1??1.2

?51?总的放大率M?L(L?R1?R)?L?R1??L?R2?L?L?R1?R2?1??L?R1??L?R2??2g1g2?2g1g2?g1g2?1??1?3.472?112?1?2?0.917?整体往返三维损耗?三维?1?(?1?2)?1?2(m1m2)M??往返=

??Ma1???a12??Ma1?221

?1?2?0.917

M因为R1=R2.所以，m1=m2.M=m1m2=m1m1

111?程三维损耗?三维?1?(单程三维?1*?1)?1??1??1??0.712?单mmM3.472?11?单程?1?1??往返1

?1?=0.712

M

5714.6（夏珉习题3.25）设虚共焦非稳定腔的腔长L?0.25m，凸球面镜M2的直径和曲率半径分别为

R2??1m和2a2?3cm,若保持镜M2尺寸不变，并从镜M2单端输出，试问：凹面镜M1尺寸应选择多大？此时腔的往返放大率多大？解：

?m1?a1'/a1?1?R1R2R1g2?m2?a2'/a2?/???22R2g1?R1?R2L???0.25

22R2??1mR1?1.5m

，放大率M?m2?

R1?1.5R2

M1镜面的尺寸，2a1?m2?2a2?4.5cm

14.7（周炳琨习题2.26）试计算R1?1m，L?0.25m，a1?2.5cm，a2?1cm的虚共焦腔的?单程和?往返.若

想保持a1不变并从凹面镜M1端单端输出，应如何选择a2？反之，若想保持a2不变并从凸面镜M2输出，a1如何选择？在这两种情况下，?单程和?往返各为多大？解：对于虚共焦腔：R1?1m,L?0.25m,由R1?R2?2L得R2??0.5m。

m2?

R1?2,m1?1R22?a2???aa1?2.5cm,a2?1cm,?12??0.16,?1?0.16;

m1?a1???

?a2??1.5625,??1.

12m2则?单程=1-?1?2?0.6,?往返=1-?1?2=0.84

2581）保持a1不变，从凹面镜M1端输出，要求M2能接收从M1传输的光线，则须：

?a1???a2???1?1,a2?a1,此时?2=?0.25.2m2

?a2?a2?单程=1-?1?2=1-?0.5，?往返=1-?1?2=1-???0.75

a1?a1?

2）保持a2不变，从凸面镜M2单端输出须：

2

2

a22?1?()?0.25

a1a2a22?单程=1-?1?2=1-?0.5，?往返=1-?1?2=1-（）?0.75

a1a114.8考虑一共焦非稳定腔，工作波长??1.06?m，腔长L=0.3m，有效菲涅尔数Nef?0.5，往返损耗率??0.5，试求单端输出时，镜M1和M2的半径和曲率半径。

往返损耗率??1?单端输出时m2?

1

?0.5?M?1.4142M

a1R

?1?M?1.414a2R2由R1?R2?2L可得R1?2.05m,R2??1.45m

a2

Nef??0.5?a2?a?3.99?10?4m

L?a1?m2a2?5.64?10?4m=0.564mm

59第15讲.光与物质相互作用理论

第四章

名词解释与简答题??

Nd:YAG激光器能级图CO2激光器能级图

15.1（夏珉习题4.1）发光原子以0.2c的速度沿某光波传播方向运动，并与改光波发生共振，若此光波波长?=0.5?m，求此发光原子的静止中心频率。

????1?vz/c1?vz/cc1?0.2c/c???1?0.2c/c把?=0.5?m代入得

c

?=1.225?7.35?1014Hz

?15.2（夏珉习题4.2）某发光原子静止时发出波长??488nm的光，当它以0.2c速度背离观察者运动，

则观察者认为它发出的光波长变为多大？

根据公式

?=?0??

c

1?vz/cc1?vz/c?

1?vz/c?01?vz/c?1.225?0?597.8nm

?15.3（周炳琨4.1）静止氖原子的3S2-2P4谱线中心波长为632.8nm。设氖原子分别以0.1c、0.4c和0.8c的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？解：根据多普勒效应，有

60?=?01+?zc1??zcc则?=c??

?01??zc1??zc??01??zc1??zc当?z=0.1c时， ?1?572.4nm当?z=0.4c时， ?1?414.3nm当?z=0.8c时， ?1?210.9nm

第16讲.谱线加宽

16.1（夏珉习题4.4）He-Ne激光器中Ne能级2S2~2P4的谱线为1.1523um。这条谱线的自发辐射几率A为6.54*106s-1，放电管气压P?260Pa；碰撞系数??700kHz/Pa；激光温度T=400K；M=114。试求：（1）均匀线宽??H；（2）多普勒线宽??D；（3）分析在气体激光器中，哪种线宽占优势。

(1)

??H???N???L?(2)??D?(3)

???D???H

?多普勒加宽占优

A

??P?183.0409?106Hz2?20

(8ln2)kT?0?3.4918?108Hz2Mc16.3（周炳琨4.5）氦氖激光器有下列三种跃迁，即3S2-2P4的632.8nm，2S2-2P4的1.1523μm和3S2-3P4的3.39μm的跃迁。求400K时它们的多普勒线宽，分别用GHz、μm、cm-1为单位表示。由所得结果你能得到什么启示？

解：多普勒线宽的表达式为

??D?7.16?10?7

c?T?

??(单位为GHz)?0?M?

6112??D???T???D?7.16?10?7????0(单位为μm)c?M??1????D

???D?T?1?7??7.16?10????

c?M??0?

1

22012所以，400K时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为：

3S2-2P4的632.8nm跃迁：

??D?1.52GHz??D?2.03?10?6μm?1?????5.07?10?2cm?1??D?2S2-2P4的1.1523μm跃迁：

??D?0.83GHz??D?3.69?10?6μm?1????D

3S2-3P4的3.39μm跃迁：

??D?0.28GHz??D?1.09?10?5μm?1?????9.33?10?3cm?1??D???2?1??2.77?10cm?

由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。

16.4（周炳琨4.9）某种多普勒加宽气体吸收物质被置于光腔中，设吸收谱线对应的能级为E2和E1（基态），中心频率为?。如果光腔中存在频率为?的单模光波场，试定性画出下列情况下基态粒子数按速度的分布。

62(1)????01

(2)???0???D2(3)???0解：（1）???0时，只有?z很小的粒子的表观频率在中心频率处，因而只有在?z很小处才能造成受激吸收。故不影响原粒子数的分布。

（2）???0?

???D1

??D时，由?'??(1?z)??0得：?z??c即在该速度处的粒子受激吸收最大，粒22?c子数减少最多。

（3）???0时，?z?0处粒子受激吸收最大，粒子数减少最多。

63第17讲.非均匀加宽

17.1（夏珉习题4.5）有一固体工作物质，与激光作用有关的能级有5个：

E1?0,E2?0.19eV,E3?1.36eV,E4?1.53eV,E5?1.66eV，激光发生在E3?E2能级之间。E4,E5能

级是两个吸收能级，即泵浦带，为亚稳态，用闪光灯泵浦。(1)画出以该工作物质为激光器的能级图；（2）说明该激光器的激光形成过程及产生的激光波长；（3）闪光灯中必须含有什么波长的光，才能有效地激发？

(1)略(2)

E3?E2?h??1.36eV?0.19eV?1.17eV

??

(3)

c

??1.05?10?6mc

?1hc

?1??0.74?m

E5?E1同理可得

hc

?2==0.80?m

E4?E1h??h

?E5?E16417.2（夏珉习题4.6）估算气体在常温（300K）下的多普勒线宽和碰撞线宽系数，并讨论在什么气压范

围内从非均匀过渡到均匀加宽。

MCO2?44??D?7.16?10?7?0116kT?naQaa??ma?23P?300?1816?1.38?10?7.24?10?1044300?3???106.02?1023?129.65?103P

??111??L??20.64kHz/Pa

P?2?P??D5.29?1073P???2.56?10Pa3?20.64?10故P>2.56kPa时为均匀加宽

22T?5.29?107HzM17.3（夏珉习题4.7）工作在极低温条件下的低压氪灯具有较好的相干性，曾被用做光源来标定“米”这

一基本物理量，在忽略均匀加宽的条件下，估算低压氪灯工作在温度为63K时谱线的相干长度，

?8

氪灯中的低压气体为(原子序数36，原子量86)。并将其与单色性??/??10的氦氖激光器进行比

较。

解答：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为

?2KT??T??7??D?2?0?ln2?7.16?10?0???2?mc??M?1212式中，M为原子（分子）量，m?1.66?10?27M(kg)。对Kr86来说，M=86，相干长度为

Lc? ?

c??D

?

??M?

??

7.16?10?7?T?

?10

12126057?10?86?

????89.4cm?77.16?10?77?

对于单色性??/??10?8的氦氖激光器，其相干长度为

Lc?

cc????63.28m2??c??/???/?65可见，氦氖激光器的相干长度要比Kr86低气压放电灯的相干长度要大得多。

17.13（夏珉5.1）对于均匀加宽单模运转的行波激光器，假设谐振腔内只存在一个方向传输的行波，请回答下列问题：(1)说明在此激光谐振腔光轴方向是否存在空间烧孔效应？(2)试推导激光器输出功率的表达式，并证明此激光器也存在一个最佳透过率使得激光器的输出功率达到极大值（3)写出激光器谐振腔内光强随透过率的变化关系，是否也存在一个最佳透过率使得激光器谐振腔内的光强达到极大值？

解：（1）在光轴方向不存在空间烧孔效应。因为在行波激光器中，光强沿轴向均匀分布，轴向上各处的增益系数都是一样的，所以不存在空间烧孔。

（2）对于均匀加宽情况，当腔内达到稳态时，其增益系数等于损耗，即：

0

GH(?0)?GH(?0,I?q)??

I?0l1?

IS

可得稳态工作时的光强为：

0?GH(?0)l?I?0???1?IS

???

行波激光器内无需考虑往返激光，设激光束的有效横截面积为A，则有：

P?ATI?AT(??1)IS

其中β为激发参量，表示为：

0

GH(?0)lGml?==

a?Ta?T

对于输出功率P的表达式，令?P/?T?0，可得最佳透过率的值为：

Tm?Gmla?a

（3）腔内光强表达式为：

I腔=(

Gml

?1)IS

a?T由表达式可知腔内光强随透射率的减小而增大，当T=0时有最大的腔内光强。

6616.5（周炳琨5.8）考虑氦氖激光器的632.8nm跃迁，其上能级3S2的寿命?2?2?10?8s，下能级2P4的寿命?1?2?10?8s，设管内气压p=266Pa：(1)计算T=300K时的多普勒线宽??D；(2)计算均匀线宽??H及??D/??H；

(3)计算烧孔宽度???2??H时的腔内光强I?及频率为???0及???0的模的输出功率（输出反射镜透射率为T，光束有效直径为d）；

(4)当腔内光强为(1)接近0；(2)10W/cm2时谐振腔需多长才能使烧孔重叠。解：(1)T=300K时的多普勒线宽??D为

?2KT??T??7??D?2?0?ln2?7.16?10?0???2?mc??M? ?7.16?10?7? ?1314.7MHz

3?10?300?

??

632.8?10?9?20?

812212(2)均匀线宽包括自然线宽??N和碰撞线宽??L两部分，??H???L???N，其中

1

??N?

2??11?12

????15.9MHz???8??2?2?10?12?

??L??p?720?103?266?191.5MHz所以

??H???L???N?207.4MHz??D/??H?6.34(3)烧孔宽度

???1?所以

I???H?2??HISI??3Is

当???0时，输出功率为

??Gml?2?1

P?ATIs????1?

2???????

67当???0时，输出功率为

2

?????q??0?2??4ln22?Gl???D?P?AIsT??me?1?

?????????

(4)设腔内光强为I，则激光器烧孔重叠的条件为

cI???H1?2lIsl?

c2??H1?IIs取IS?15W/cm2进行计算。当腔内光强接近0的时候

c3?108

l??m?0.72m62??H2?207.4?10当腔内光强为10W/cm2的时候

3?108

l?m?0.56m62?207.4?10?1?10/1516.2（夏珉习题5.4数据有改动）长度为10cm的红宝石棒置于长度为20cm的光谐振腔中，红宝石694.3nm谱线的自发辐射寿命?s?4?10?3s，均匀加宽线宽为2?105MHz。光腔单程损耗??0.2。求(1)阈值反转粒子数?nt；

(2)当光泵激励产生反转粒子数?n?1.2?nt时，有多少个纵模可以振荡？(红宝石折射率为1.76)解：(1)阈值反转粒子数为：

4?2??H?2?s???nt??

?21ll?24?2?2?1011?1.762?4?10?3?0.2?3 ?cm

10?(694.3?10?7)2 ?4.06?1017cm?3(2)按照题意gm?1.2gt，若振荡带宽为??osc，则应该有

68?2

1.2g???H??t?2?????22?gtosc????H?

?2????

?2??

由上式可以得到

??osc?0.2??H?8.94?1010Hz

相邻纵模频率间隔为

?cc3?1010??q2l??2(l?1.76?(L?l))?

2(10?1.76?10) ?5.43?108Hz所以

??osc8.94?1010

???108?164.6q5.43?所以有164~165个纵模可以起振。

解：（1）

（2）

6916.13（夏珉5.6）红宝石激光器中，cr3+粒子数密度差?n?6?1016cm?3，波长??694.3nm，自发辐射寿命?s?3?10?3s折射率??1.76。仅考虑自然加宽效果，上下能级统计权重g2?g1?1。试求：(1)该激光器自发辐射系数A21(2)线型峰值g(?0,?0)；(3)中心频率处小信号增益系数GO；(4)中心频率处饱和增益系数G。解：（1）

A21?

1

?S

?333.3s?1

（2）已知

gN??,?0??

??N/2?2

（3）

????

???0???N???2??209?1

G??nA21g??0,?0??1.486?10m

8?2?g??0,?0??

2

?4?S?0.012s???N

（4）

当???0，且I0?IS时，?n?1

故G?G0?7.43?108m?1

210?n27016.14（夏珉5.7）一束Ar+离子激光器输出的高斯激光束，束腰半径为0.4lmm，束腰位置恰好在凸透镜前表面上，激光输出功率为400w(指有效截面内的功率)，透镜焦距为10mm，计算激光束经透镜聚焦后，焦点处光斑有效截面内的平均功率密度（Ar+激光波长514.5nm）。解：透镜前q参数：

2

??01q1?if?i?1.026i?1

?Aq?B1?i?0q2?1??0.0001q?0.01

1Cq1?D??i?110?10?3?q

?220?2?1.6377?10?2

?iWP??7774W

??220

16.15（夏珉5.9）红宝石激光器腔长L=11.25cm,红宝石棒长l=10cm，折射率η=1.76荧光线宽ΔvF=2x105MHz,当激发参数α=1.16时，求满足阈值条件的纵模个数。解：

??T???H??1?8?104MHzL'?L?(n?1)l?18.75cmc

?800MHz2L'??T?q??1?101

??q??q?

16.16（夏珉5.10）氦氖激光器腔长L=1m，放电管直径2mm，两反射镜反射率分别为100%与98%。

3?10?4?1

单程衍射损耗率??0.04折射率??1.76，若Is?0.1W/mm,Gm?（1）?q??0时的单模m，求：

d2

1

输出功率；（2）?q??0???D时的单模输出功率。

2解：（1）平均单程损耗因子：

T1?98%

????0.04?0.0522?单?

??

Gml

?单

71?3

当?q??0时：

P?AI?T?

1

AT??2?1?IS?25.13mW2（2）

22?????????0???1???

当?q??0+??D时,P?AIST???exp??4ln2?1????7.8mW22??D????????????

16.17（夏珉5.14）CO2激光器腔长l=1m，放电管直径d=l0mm，单程衍射损耗率??0.5%，两镜面散射损耗率均1.5％，两镜透过率分别为2％，10％，其他损耗不计。当它工作在室温(T=300k)条件下时，求：（1)激发参数(2)碰撞线宽及多昔勒线宽，并判断它属于哪种加宽类型（设放电管中气压为最佳气压)；(3)计算在最佳放电条件下稳定工作时，腔内的光强；（4）若输出有效面积按放电管截面积的80％计，此激光器的最大输出功率是多大？解：（1）根据题意可知

??0.005?0.015?ln?1?T1??1?T2??0.083

1.4?10?3/mm?1m

????16.9

?0.083Gml

1

2（2）

最佳气压P?2.67?103Pa

碰撞线宽：??L?0.049?2.67?103MHz?131MHz多普勒线宽：??D?

?8ln2?kT?Mc20?53MHz

故该加宽属于均匀加宽类型。

（3）

722

?0.72W/mmd2I?IS???1??11.4W/mm2IS?

（4）

72a??0.005?0.015??2?0.04?d?

A?0.8????62.8mm2?2?

21

Pm?AIS2Gml?a?49.07W

22??16.18（夏珉5.17）一个激光谐振腔由两个反射率分别为为R1=1和R2=0.5的反射镜构成。腔内单程能量损耗为??1%，试计算腔内单程能量损耗率。如果腔内工作物质长度l=7.5cm，发射截面为

??2.8?10?19cm2，试计算阈值反转粒子数?nt

解：由题意，单程能量损耗为：

??1%?12lnR1R2?0.36

稳定工作时有G??l，又G??nt?故?n?t??1.7?1017cm?3

?l73