专题13 三角形的基本知识
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三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形：
AOBAAADBD图3CDCB图4
C图1DB图2C
例题与求解
【例1】 在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.
（“东方航空杯”——上海市竞赛试题） 解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.
【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A.17cm B.5cm C.5cm或17cm D.无法确定
（北京市竞赛试题）
解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.
【例3】 如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：运用凹四边形的性质计算.
AFGBDEC
【例4】 在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.
（北京市竞赛试题）
解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.
【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n(n?2)小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.
（江苏省竞赛试题）
解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a，b，c，且a?b?c，由条件及三角形三边关系定理可确定c的取值范围，从而可以确定整数c的值. 对于（2），因n段之和为定值150cm，故欲使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.
【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
（天津市竞赛试题）
解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.
能力训练
A级
1.设a，b，c是△ABC的三边，化简a?b?c?a?b?c=____________.
2.三角形的三边分别为3，1?2a，8，则a的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形. 4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________. （“缙云杯“试题）
DAAABGMHBBCE （第4题） （第5题） （第6题）
5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.
CCEDFATGDEA2EB1DBC
（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（ ）
HC11(90???A) B.90???A 2211C.(180???A) D.180???A 22A.
7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：
①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=
1（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C. 2其中正确的是（ ）
A.①②③ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ） A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 9.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（ ）
A.∠A=∠1+∠2 B.∠A=C.∠A=
1（∠1+∠2） 211（∠1+∠2） D.∠A=（∠1+∠2） 34
（北京市竞赛试题）
10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ） A.1个 B.3个 C.5个 D.7个
（北京市竞赛试题）
11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
（河南省竞赛试题）
AE13GF
B2DC
12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°. （1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.
（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.
CAECANB
DM BD
图1 图2
13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.
（1）证明：AB+AE＞DB+DE； （2）证明：AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.
（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）
ADB
EC
B级
1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的 个数有_______个.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分的小三角形. 3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是m，最小值是n，则m?n?___________.
（上海市竞赛试题）
4.如图，若∠CGE=?，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.
（山东省竞赛试题）
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初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题13 三角形的基本知识
