2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分
两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分
标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=log1(x?2x?3)的单调递增区间是
22(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞)
2、 已知两个实数集合A={a1, a2, … , a100}与B={b1, b2, … , b50}，若从A到B的映射f
使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有
(A) C100 (B) C90 (C) C100 (D) C99 3、 由曲线x=4y, x= 4y, x=4, x= 4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为
222222
V1，满足x+y≤16, x+(y-2)≥4, x+(y+2)≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则
(A) V1=
2
2
5050494912V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2 23二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
4、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则
z1?z2= 。
z1?z2
5、 将二项式(x?124x)n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展
开式中x的指数是整数的项共有 个。
P1 P2 P3 P10
P5 P8
P7 P9 P6
P4
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
2
6、 已知点A(0,2)和抛物线y=x+4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。
7、 如图，有一列曲线P0, P1, P2, ……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，
Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。
①求数列{Sn}的通项公式；②求limSn。
n??
P0
P1
2
8、 设二次函数f(x)=ax+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
① 当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
② 当x∈(0,2)时，f(x)≤(P2
x?12) 2③ f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题
参考答案及评分标准
说明：
1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；
2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
三、（本题满分50分）
在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。
2002全国高中数学联赛答案
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、函数f(x)=log1(x?2x?3)的单调递增区间是
22(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 【答案】A
【解析】由x-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=log1u, u= x-2x-3，故选A
2
2
2
2、 函数f(x)=
xx ?x21?2(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数
(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A
【解析】直接根据奇偶函数的定义解答。
S=S?OAP1?S?OBP1= ∴Smax=62 ∵S⊿OAB=6
11??4?3sin???3?4cos?=6(sin+cos)=62sin(??) 224y B O P1 A x ∴(S?P1AB)max?62?6 ∵62?6<3
∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B
6、由曲线x=4y, x= 4y, x=4, x= 4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积
222222
为V1，满足x+y≤16, x+(y-2)≥4, x+(y+2)≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则
(A) V1=
2
2
12V2 (B) V1=V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2 23四、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则
z1?z2= 。
z1?z2【答案】
133 7【解析】由余弦定理得|Z1+Z2|=19, |Z1Z2|=7,
z1?z2133=
7z1?z2
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 (2)
