福建省龙岩市长汀一中2024-2024学年高二（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知等差数列{an}，前n项和为Sn，S10=90，a5=8，则a4=（ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 2. 不等式x+ ＞2的解集是（ ）
A. C.
B. D.
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列
（ ） A.
的前100项和为
B.
C.
D.
2
4. 不等式（a-2）x+2（a-2）x-4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
22
5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a-b= bc，且sinC=2 sinB，
则A等于（ ）
A.
B.
C.
D.
=（ ）
6. 在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b= ，则A. 2
B.
C. D.
2
7. 已知数列{an}，an=-2n+λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 8. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东
15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A. B. C. D. 9. 等比数列{an}的各项均为正数，且a3a8+a4a7=18．则log3a1+log3a2+…+log3a10=（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 10. 若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（ ）
A. B. C. D. 11. 设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若 ， ， 依次成公差不为0的等差数列，则（ ） A. a，b，c依次成等差数列
C. ， ， 依次成等比数列
B. ， ， 依次成等差数列 D. ， ， 依次成等比数列
12. 已知△ABC是锐角三角形，若A=2B，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
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D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
222
13. 在△ABC中，已知a+b+ab=c则∠C═______．
14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2an，若Sn=126，则n=______． 15. 等比数列{an}中，若a1+a2=20，a3+a4=60，则a5+a6=______．
a1=1，a2=2，16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1=an-an-1（n≥2），则S2024=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=1，且a1，a2，a6成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=
B，C所对的边分别为a，b，c，18. 在△ABC中，三个内角A，且满足
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为2 ，a+b=6，求边c的长．
19. 在△ABC中，已知：
，求数列{bn}的前n项和Sn．
=2cosC．
，且cos（A-B）+cosC=1-cos2C．
（1）判断△ABC的形状，并证明； （2）求
的取值范围．
20. 某物流公司进行仓储机器人升级换代期间，第一年有机器人400台，平均每台机器
人创收利润1万元．预测以后每年平均每台机器人创收利润都比上一年增加0.25万元，但该物流公司在用机器人数量每年都比上一年减少10%． （1）设第n年平均每台机器人创收利润为an万元，在用机器人数量为bn台，求an，bn的表达式；
（2）依上述预测，第几年该物流公司在用机器人创收的利润最多？
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n*
21. 设数列{an}满足：a1+2a2+3a3+…+nan=2（n∈N）．
（1）求数列{an}的通项公式；
2
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
22. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（Ⅰ）证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明： + +…+ ＜ ．
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答案和解析
1.【答案】D 【解析】
解：∵S10=90=（a1+a10）×
=（a5+a6）×
，a5=8，
∴a6=10
∴a4=2a5-a6=6 故选：D．
结合等差数列前n项和公式及等差数列的性质，先由已知求出a5的值，进而根据a4=2a5-a6求出答案．
本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，熟练掌握m+n=p+q时，am+an=ap+aq，是解答的关键． 2.【答案】A 【解析】 解：根据题意，x+
＞2?x-2+
＞0?
＞0?x（x-1）（x+1）＞0，
解可得：-1＜x＜0或x＞1，
即原不等式的解集为（-1，0） （1，+∞）； 故选：A．
根据题意，原不等式可以等价转化为x（x-1）（x+1）＞0，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查分式不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式． 3.【答案】A
【解析】
解：设等差数列的公差为d 由题意可得，
解方程可得，d=1，a1=1
1=n 由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×∴
=
=
=1-=
故选：A．
由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得=
=
，裂项可求和
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的
应用，属于基础试题 4.【答案】C
【解析】
解：①当a=2时，不等式恒成立．故a=2成立 ②当a≠2时，要求解得：a∈（-2，2）
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综合①②可知：a∈（-2，2] 故选：C．
这是一道类似二次不等式在x∈R恒成立求参数的问题，应首先考虑a-2是否为零． 本题考查类似二次函数在R上的恒成立问题，容易忘记考虑系数为零的情况． 5.【答案】A 【解析】 解：由sinC=2
22
可得a=7b， 所以cosA=∵0＜A＜π， ∴A=
．
sinB，由正弦定理可知：c=2
b，代入a2-b2=
bc，
=，
故选：A．
利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可． 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，基本知识的考查． 6.【答案】B
【解析】
解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C， 由A+B+C=π得B=
，
∵b=，∴由正弦定理得，
=
=
，
==2，
∴
故选：B．
根据等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由正弦定理和分式的性质求出式子的值．
本题考查正弦定理，等差中项的性质，以及分式的性质综合应用，属于中档题． 7.【答案】A 【解析】
*
解：∵数列{an}是递减数列，∴?n∈N，an+1＜an恒成立．
22
∴-2（n+1）+λ（n+1）＜-2n+λn，
*
化为λ＜4n+2对?n∈N恒成立，
1+2=6． ∴λ＜4×
∴实数λ的取值范围是（-∞，6）． 故选：A．
*
数列{an}是递减数列，?n∈N，an+1＜an恒成立．解出即可． 本题考查了单调递减熟数列，属于基础题． 8.【答案】B
【解析】
解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，
∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°
∴SNM=105°
∴∠MSN=30°， △MNS中利用正弦定理可得，
=
．
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福建省龙岩市长汀一中2024-2024学年高二（上）第一次月考数学试卷（解析版）
