百度文库 - 让每个人平等地提升自我
§2.2.3向量数乘运算及其
几何意义
学习目标 1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；
2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P87—P90）
复习： 向量减法的几何意义是什么？
二、新课导学 ※ 探索新知
探究：向量数乘运算与几何意义 问题1：已知非零向量a，作出： ①a?a?a；②?a??a??a.
通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？
??????a
1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作?a，它的长度与方向规定如下：
（1）|?a|=___________________________________;
（2）当_________时，?a的方向与a的方向相同；当_______时，?a的方向与a方向相反，当_________时，?a=O。
问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.
2、向量数乘运算律，设?,?为实数。 （1）?(?a)?_______； （2）(???)a?_________； （3）?(a?b)?_________；
（4）(??)a?________=___________； （5）?(a?b)?______________； 1
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（6）对于任意向量a,b，任意实数?、?1、?2恒有?=_______________。 （?1a+?2b）
问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？
3、两个向量共线（平行）的充要条件：向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得 。 对此定理的证明，是两层来说明的： 其一，若存在实数λ，使b行，即b与a平行.
其二，若b与a平行，且不妨令aλa，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知λb与a平
0，设
|b||a|．接下来看a、bμ（这是实数概念）
方向如何：①a、b同向，则b实数λ（λ ※ 典型例题
例1、计算： ⑴??7??6a；
μa，②若a、b反向，则记bμa，总而言之，存在
μ或λμ）使bλa.
???⑶?5a?4b?c??2?3a?2b?c?.
⑵4a?b?3a?b?8a；
?例2：如图，在ΔABC中，已知M、N分别是AB、AC的中点，用向量方法证明：
1MN//BC
2A
N
CMB题 2
例3、已知两个向量e1和e2不共线，AB?e1?e2，BC?2e1?8e2，CD?3e1?3e2，求证：A、B、D三点共线. 2
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例4、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB?a，AD?b，你能用a、
b表示AM、BM、CM、DM吗？
三、小结反思
（1）λ与a的积还是向量，λa与a是共线的；
（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、8(a?c)?7(a?c)?c=___________。 (a?9b?2c)?(b?2c)=________ _。
1?1?a??2a?b?a?= ； ?(2a)?8b?(4a?2b)?=______ ___。
??3?2???2、在?ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若AB?a，AC?b，则EF等于（ ） A.
11a?b B.a?b 2211 C.b?a D.?a?b
22????????3、点C在线段AB上，且AC?3AB，则AC?________CB。 53
山东省高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4
