????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a ??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)
????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b
3共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
????行向量．a平行于b记作a//b．
??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是
同一直线，也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论：
??????共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数??λ，使a＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
??OP?OA?ta．
其中向量a叫做直线l的方向向量. 5．向量与平面平行：
已知平面?和向量a，作OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量a平行于平面?，记作：a//?．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 6．共面向量定理：
如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使
?p?xa?yb
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使
MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB ① ①式叫做平面MAB的向量表达式
7空间向量基本定理：
如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组
x,y,z，使p?xa?yb?zc
推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个 有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC
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8空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与
b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有?a,b???b,a?；若
?a,b???2，则称a与b互相垂直，记作：a?b.
9．向量的模：
设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|. 10．向量的数量积： a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．
已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，作点B在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.
可以证明A?B?的长度|A?B?|?|AB|cos?a,e??|a?e|． 11．空间向量数量积的性质：
（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．（3）|a|?a?a． 12．空间向量数量积运算律：
（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则
a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3 a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?2a1a2a3?? a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0 b1b2b3a?a?a?a12?a22?a3????a?bcos?a,b?????|a|?|b|2(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2?a?a?a?a?a)
a1b1?a2b2?a3b32a12?a22?a3?b122?b22?b3
②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，
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如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|. ②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.
③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相交）.
An▲BB?CA▲n1CDE?n2??
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高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a?b?b?a（对称性）
（2）a?b,b?c?a?c（传递性）
（3）a?b?a?c?b?c（加法单调性）
（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc
（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）
（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）
(9)a?b?0,0?c?d?ab（异向不等式相除） ?cd(10)a?b,ab?0?11（倒数关系） ?ab（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）若a?R,则|a|?0,a2?0
（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab?a?b.（当仅当a=b时取等号）
2极值定理：若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则：
1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○
2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. ○
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
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(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）
ab(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a
（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 211?ab?ab?a?b?2a2?b2（当仅当
.2a=b
时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
a?b2a2?b2a?b2a2?b2特别地，ab?(（当a = b时，()?)??ab）
2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式：a12?a2222221(a1?a2?...?an)2 n2注：例如：(ac?bd)?(a?b)(c?d).
1常用不等式的放缩法：①1?1?nn?1n(n?1)②n?1?n?1n2111??(n?2)
n(n?1)n?1n1n?n?112n1n?n?1?n?n?1(n?1)
（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则22(a12a2（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)???ana1a2a3当且仅当?????时取等号b1b2b3bn2a3???2an)(b122?b22?b32??bn)
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有
f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)
)?.22则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
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高三数学第一轮复习 - 知识点
