2014-2015学年上海市实验学校高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（4分）（2015春?上海校级期中）若α∈（0，π），且角α的终边与角5α的终边相同，则α=
．
考点： 终边相同的角． 专题： 三角函数的求值．
分析： 写出与α终边相同的角的集合，列出方程求解即可．
解答： 解：∵与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ，k∈Z}．角α的终边与角5α的终边相同，
∴5α=α+2kπ，α∈（0，π），∴α=故答案为：
．
，可得k=1，α=
．
点评： 本题考查了终边相同的角的集合的写法，是基础的会考题型． 2．（4分）（2015春?上海校级期中）化简：
= ﹣1 ．
考点： 专题： 分析： 解答：
运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值． 三角函数的求值．
直接利用诱导公式化简求解即可． 解：
==﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力． 3．（4分）（2015春?上海校级期中）一个半径为2的扇形，若它的周长等于所在的圆的周长，则该扇形的圆心角是 2π﹣2 ．
考点： 弧长公式．
专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 设圆心角为θ，弧长为l，建立方程，求得弧长，再求扇形的圆心角即可． 解答： 解：设圆心角为θ，弧长为l， 由题意得4+l=4π，解得l=4π﹣4
∴圆心角θ==2π﹣2
故答案为：2π﹣2．
点评： 本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．
4．（4分）（2015春?上海校级期中）已知cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣，且β是第三象限的角，则sinβ=
．
考点： 两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值．
分析： 由两角差的余弦公式可得cosβ，进而由同角三角函数的基本关系可得． 解答： 解：∵cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=﹣， ∴cos[（α﹣β）﹣α]=﹣，即cosβ=﹣， ∵β是第三象限的角， ∴sinβ=﹣故答案为：
．
=﹣，
点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题． 5．（4分）（2015春?上海校级期中）已知△ABC中，a=7，b=8，A=60°，则边c= 3或5． ．
考点： 余弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
222
分析： 利用余弦定理得出a=b+c﹣2bccosA，把已知a，b及A的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值． 解答： 解：∵在△ABC，a=7，b=8，A=60°，
222222
∴根据余弦定理a=b+c﹣2bc?cosA得：7=8+c﹣16c?cos60°，
2
整理得：c﹣8c+15=0， 解得：c=3或c=5， 则c的值为3或5． 故答案为：3或5．
点评： 此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6．（4分）（2015春?上海校级期中）若
考点： 二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题；三角函数的求值．
，则sin2α=
．
分析： 根据已知等式可求tanα，由万能公式即可求值． 解答： 解：∵
∴整理可得：1+tanα=3﹣3tanα+2
， ﹣2
tanα，可得：tanα=
=
，
∴sin2α===．
故答案为：．
点评： 本题主要考查了万能公式和三角函数求值，属于基本知识的考查．
7．（4分）（2013?黄埔区一模）已知2α）等于 ﹣1 ．
考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 计算题． 分析： 把已知条件
利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关
，
，则tan（β﹣
系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 解答： 解：由
，
=
=2tanα=1，得到tanα=，又
则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．
故答案为：﹣1
点评： 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．
8．（4分）（2015春?上海校级期中）若2sinθ+3cosθ=2，则sinθ+cosθ=
或1 ．
考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题；三角函数的求值．
分析： 将已知等式两边平方整理可得（12sinθ+5cosθ）cosθ=0，从而解得cosθ=0，或者12sinθ+5cosθ=0，分别解得sinθ，cosθ的值，即可求和得解． 解答： 解：∵2sinθ+3cosθ=2，
∴两边平方有：4sinθ+12sinθcosθ+9cosθ=4， （12sinθ+5cosθ）cosθ=0，
所以有：cosθ=0，代入原式，得 sinθ=1， 或者 12sinθ+5cosθ=0，解得：sinθ=﹣代入原式，有：sinθ=﹣
，cosθ=
．
． cosθ，
22
所以可得：sinθ+cosθ=1，或者 sinθ+cosθ=故答案为：
或1．
点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查． 9．（4分）（2015春?上海校级期中）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为
．
考点： 解三角形．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．
解答： 解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα， 由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα，
所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2=2
sin（α﹣
）+2， =
，
所以该八边形的面积的最大值为． 故答案为：．
点评： 本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．
2
10．（4分）（2015春?上海校级期中）已知函数f（x）=x+bx+c，对于任意α，β∈R都有f
2
（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0，若f（sinα）的最大值为10，则f（x）= x﹣5x+4 ．
考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 由f（sinα）≥0知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，同样可得x∈[1，3]时，f（x）≤0，从而得到f（1）=0，从而可得到f（x）在[﹣1，1]上单调递减，从而便可得到f（﹣1）=10，这样便可得到不等式组
，解出b，c即可得出f（x）．
解答： 解：由已知条件知，x∈[﹣1，1]时，f（x）≥0，x∈[1，3]时，f（x）≤0；
∴f（1）=0，f（x）在[﹣1，1]上单调递减； f（sinα）的最大值为10； ∴f（﹣1）=10； ∴解
2
得，；
∴f（x）=x﹣5x+4．
2
故答案为：x﹣5x+4．
点评： 考查正余弦函数的值域，根据条件可画出函数f（x）的草图求解，函数单调性定义的运用，要熟悉二次函数的图象．
二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满16分） 11．（4分）（2015?嘉兴二模）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 由正弦定理知
得结论．
解答： 解：若sinA＞sinB成立， 由正弦定理
=2R，
，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可
所以a＞b， 所以A＞B．
反之，若A＞B成立， 所以a＞b，
因为a=2RsinA，b=2RsinB， 所以sinA＞sinB，
所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件． 故选C．
点评： 本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．属于基础题．
12．（4分）（2015春?上海校级期中）设集合A={x|x=π+C={x|x=kπ+
，k∈z}，则A∩（B∪C）=（ ）
，k∈z}，B={x|x=kπ+
，k∈z}，
上海市实验学校高一数学下学期期中试卷（含解析）
