【知识点】中垂线；圆周角定理；平行四边形；重心；垂心
27．（2019江苏省无锡市，27，10）已知二次函数y?ax?bx?4（a＞0）的图像与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C. （1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC∶CA=1∶2，直线BD与y轴交于点E，连接BC.
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.
yy2xOOx
第27题图
【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用.
(1)令y=0求点C的坐标，借助对称轴方程判断b的符号；
（2）①过点 D 作 DM⊥y轴于M，先利用相似求得DM与AO的关系，再设DM=m，求得 D、B的坐标与OE的长，从而求得m的值，最后将A、B坐标代入求解析式；
②先用m的表达式求出B、C、D的坐标，再利用勾股定理求CB2 、CD2 、DB2，最后借助“两边的平方和大于第三边平方，第三边所对角为锐角”求出m的范围从而得到OA的范围. 【解题过程】
解：（1）令 x=0，则 y =-4，∴C（0，-4），∵ OA＜OB，∴对称轴在 y 轴右侧，即?（2）①过点 D 作 DM⊥y轴于M，则DM∥AO，∴
b>0，∵a＞0，∴b＜0； 2aDCDMMC11???， ∴ DM =AO，设 A（-2m，0）CAOACO22(m＞0)，
则 AO=2m，DM=m.∵OC=4，∴CM=2，∴D（m，-6），B（4m，0），设对称轴交x轴于N，则DN∥y轴，∴ △DNB∽△EOB，
∴
DNBN1，∴OE=8，S△BEF = ×4×4m =8，∴ m =1，∴A（-2，0），B（4，0）， ?OEOB211，∴ y = x2- x -4. 22②易知：B（4m，0），C（0，-4），D（m，-6），由勾股定理得 CB2 =16m2 +16，CD2 = m 2 +4，DB2 = 9m2 + 36. ∵9m 2 +36+16m2 +16> m2 +4，∴CB2 + DB2＞CD2，∴∠CB D为锐角，故同时考虑一下两种情况： 1°当∠CDB 为锐角时，CD2 + DB2＞CB2，m2 +4 + 9m 2 +36＞16m2 +16 ，解得 -2＜m＜2，
设 y = a(x + 2)(x - 4)，即 y= ax 2-2ax- 8a，令 x=0，则 y=-8a，∴C（0，-8a），∴-8a=-4，a=
2°当∠BCD 为锐角时，CD2 +CB 2＞DB 2， m2 +4 +16m2 +16＞ 9m 2 +36，解得 m＞2或m＜-2（舍）， 综上：2 ＜m＜2 ，∴22＜2m＜4，∴ 22＜OA＜4.
第27题答图
【知识点】二次函数图像与性质；勾股定理；相似三角形判定与性质；锐角三角形的判定；数形结合思想
28．（2019江苏省无锡市，28，10）如图1，在矩形ABCD中，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作?PAB关于直线PA的对称?PAB，设点P的运动时间为t?s?.
'（1）若AB=23，①如图2，当点B'落在AC上时，显然△PCB'是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.
DCDB'B'PPCDC''ABABAB
图1 图2 备用
第28题图
【思路分析】本题考查了与矩形相关的轴对称问题，（1）①先利用勾股定理求AC，再证△CB?P∽△CBA得比例式求PB'，最后用勾股定理列方程求t的值；
②先用t表示相关线段，再分三种情况讨论，借助勾股定理或直接计算方法求t；
（2）易得四边形ABCD为正方形，于是AB=AB?=AD，从而可证全等得∠DAM=∠B?AM，由轴对称得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，代入∠PAB+∠PAD=90°中得到结论. 【解题过程】
（1）①∵∠B=90°，∴AC=AB?BC?∴△CB?P∽△CBA ，
22?23?2?32?21 ，∵∠CB?P= ∠CBA=90°，∠B?CP= ∠BCA，
21?23B?PCB?B?P?，故，解得B?P?27?4.由轴对称可得PB=27?4，∴ ?3CBBA23t=27?4；
②由已知可得PB=B?P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=AB?=23，
分三种情况：1°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=3，在△PCB?中， PC2+CB?2= PB?2，∴(3) 2+ (3 - t) 2 = t 2，解得 t=2.
③ ②
③ ④第28题答图
2°如图，当∠PCB?=90 °时，由勾股定理得DB?=3，∴CB?=33，在△PCB?中PC2+CB?2= PB?2，(33)2+ (t -3) 2 = t 2，解得 t=6.
3°当∠CPB?=90 °时，易证四边形 ABPB?为正方形，PB?=AB=23，∴ t=23；
（2） 如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=AB?=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△B?AM（HL），∴
∠DAM=∠B?AM，
由轴对称可得∠PAB=∠PAB?=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；全等三角形判定与性质；轴对称；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想
2019年江苏省无锡市中考数学试题（含解析）
