2010年全国高中数学联赛
一 试
一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数f(x)?x?5?24?3x的值域是 .
22. 已知函数y?(acosx?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是 . 3. 双曲线x?y?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .
4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中
22a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常数?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??，
则???? .
5. 函数f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8，则它在这个区
间上的最小值是 .
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
7. 正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B?A1P?B1??,则sin?? .
8. 方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）
329. （16分）已知函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)，当0?x?1时，f?(x)?1，试求a的最大值.
210.（20分）已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1?x2且
x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求?ABC面积的最大值.
11.（20分）证明：方程2x?5x?2?0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得
32?ra1?ra2?ra3??. 5
解 答
1. [?3,3] 提示：易知f(x)的定义域是?5,8?，且f(x)在?5,8?上是增函数，从而可知
f(x)的值域为[?3,3].
2. ?3?a?12 提示：令sinx?t，则原函数化为g(t)?(?at2?a?3)t，即 2g(t)??at3?(a?3)t.
?at(t?1)?3(t?1)?0，由?at?(a?3)t??3，(t?1)(?at(t?1)?3)?0 及t?1?0 知
32?at(t?1)?3?0 即
a(t2?t)??3. （1）
当t?0,?1时（1）总成立；
对0?t?1,0?t?t?2；对?1?t?0,?213?t2?t?0.从而可知 ??a?12. 423. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设y?k(k?1,2,?,99)与双曲线右半支于Ak,交直线x?100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99?k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为
?(99?k)?99?49?4851.
k?199又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2?4851?98?9800. 4. 33?3 提示 ：设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则
3?d?q, （1） 3(3?4d)?q2， （2）
（1）代入（2）得9?12d?d?6d?9，求得d?6,q?9.
n?1从而有3?6(n?1)?log?9?? 对一切正整数n都成立，即6n?3?(n?1)log?9?? 对
2一切正整数n都成立. 从而
log?9?6,?3??log?9??，
求得 ??33,??3，????33?3.
5. ?132x 提示：令a?y,则原函数化为g(y)?y?3y?2,g(y)在(?,+?)上是递增的. 42?1当0?a?1时，y?[a,a],
g(y)max?a?2?3a?1?2?8?a?1?2?a?所以
1， 2111g(y)min?()2?3??2??；
224当
a?1时，y?[a?1,a]，
g(y)max?a2?3a?2?8?a?2，
所以
1g(y)min?2?2?3?2?1?2??.
41综上f(x)在x?[?1,1]上的最小值为?.
4122176. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为?，从而先投掷人的获胜概率
173612为
757577?()2??()4?????121212121212112. ?25171?1447.
10 提示：解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在4直线为y轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则
B(1,0,0),B1(1,0,2),A1(?1,0,2),P(0,3,1)，从而，
BA1?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B1A1?(?2,0,0),B1P?(?1,3,?1).
设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量是m?(x1,y1,z1)、n?(x2,y2,z2)，则
zA1C1B1PAOCBxy??m?BA1??2x1?2z1?0, ???m?BP??x1?3y1?z1?0,??n?B1A1??2x2?0, ???n?B1P??x2?3y2?z2?0,urrurr由此可设 m?(1,0,1),n?(0,1,3)，所以m?n?m?ncos?，即
3?2?2cos??cos??10. 4A1解法二：如图，PC?PC1,PA1?PB . 设
6. 4所以 sin??A1B与
AB1交于点
O,C1
则
EB1OAP面
OA1?OB,OA?OB1,A1B?AB1 .
因为 PA?PB1,所以 PO?AB1,从而AB1?平
PA1B .
过O在平面PA1B上作OE?A1P,垂足为E.
CB连结B1E,则?B1EO为二面角B?A1P?B1的平面角.设AA1?2,则易求得
PB?PA1?5,A1O?B1O?2,PO?3.
在直角?PA1O中，A1O?PO?A1P?OE,即 2?3?5?OE,?OE?65.
又 B1O?2,?B1E?B1O2?OE2?2?645?. 55sin??sin?B1EO?B1O210. ??B1E454528. 336675 提示：首先易知x?y?z?2010的正整数解的个数为 C2009?2009?1004.
把x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解分为三类：
（1）x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设x,y,z两两均不相等的正整数解为k. 易知
1?3?1003?6k?2009?1004，
所以
6k?2009?1004?3?1003?1
?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004， 即
k?1003?335?334?335671.
从而满足x?y?z的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675.
?f?(0)?c,?13?29. 解法一： f?(x)?3ax?2bx?c,由 ?f?()?a?b?c, 得
4?2??f?(1)?3a?2b?c13a?2f?(0)?2f?(1)?4f?().
2 所以
13a?2f?(0)?2f?(1)?4f?()
2 ?2f?(0)?2f?(1)?4f?() ?8， 所以a?为
128832. 又易知当f(x)?x?4x?x?m（m为常数）满足题设条件，所以a最大值338. 32解法二：f?(x)?3ax?2bx?c. 设g(x)?f?(x)?1，则当0?x?1时，0?g(x)?2.
设 z?2x?1，则x?z?1,?1?z?1. 2z?13a23a?2b3ah(z)?g()?z?z??b?c?1.
2424容易知道当?1?z?1时，0?h(z)?2,0?h(?z)?2. 从而当?1?z?1时，
0?h(z)?h(?z)?2 ， 即
20?3a23az??b?c?1?2， 443a3a8?b?c?1?0,z2?2，由 0?z2?1知a?. 从而 4438382又易知当f(x)?x?4x?x?m（m为常数）满足题设条件，所以a最大值为.
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全国高中数学联赛试题及答案
