所以 sin θ＝1－cos θ＝由得
BDAB
＝，
sin ∠BADsin ∠ADB253
＝， 2sin ∠ADB5
22
25??1－－＝. ?5?5
3
解得sin ∠ADB＝. 5
因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形， π
所以∠CDB＝且CD＝BD＝25，
2π
∠ADB＋?＝ 所以cos ∠ADC＝cos?2??3
－sin ∠ADB＝－.(5分)
5
在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos ∠ADC＝(5)2＋(25)2－2×5×253
－?＝37, ×??5?所以AC＝37.(7分)
(2) 由(1)得BD2＝14－65cos θ，
11
SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×3×5×sin θ＋×BD2
2235
＝7＋sin θ－35cos θ
2
3515＝7＋(sin θ－2cos θ)＝7＋sin (θ－φ)，
22此时sin φ＝
π21
0， ?，(10分) ，cos φ＝且φ∈??2?55
ππ12
当θ－φ＝时 ，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ＋，此时sin θ＝，cos θ＝－，
2255所以BD2＝14－65cos θ＝14－65×(－
2
)＝26，即BD＝26，(13分) 5所以当草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为26百米. (14分) 18. (1) 设直线AP的斜率为k，P(x0，y0)， c1
由题意得2a＝4，＝，
a2所以a＝2，c＝1，b＝3， x2y2
所以椭圆M的方程为＋＝1.
43
因为点P在椭圆M上，且位于第一象限，
3x2y200所以0 243 y0y0y230因为kAP·kBP＝·＝2＝－， 4x0＋2x0－2x0－43 所以kBP＝－， 4k 所以直线BP的方程为y＝－ 3 (x－2)． 4k 6－8k2x＝2，y＝k（x＋2），?4k＋3? 联立?解得 3 12ky＝－（x－2），?4k?y＝2，4k＋3 ????? 12k??6－8k 即P?2，2?. ?4k＋34k＋3?1 因为l1⊥PA，所以kAC＝－， k1 则直线AC的方程为y＝－(x＋2)． k4 因为l2⊥PB，所以kBC＝k， 34 则直线BC的方程为y＝k(x－2)． 38k2－61 x＝2，y＝－（x＋2），4k＋3k 联立解得 4－16ky＝k（x－2），y＝2，34k＋3 2 ??? ????? 8k－6－16k??即C?2，2?.(6分) ?4k＋34k＋3?因为点C的横坐标为－1， 8k2－61所以2＝－1，解得k＝±. 24k＋3因为0 3 ， 2 2 1 所以k＝， 2 3 1，?.(8分) 所以点P的坐标为??2? 1 (2) 设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直线AC的方程为y＝－(x＋2)． k1 y＝－（x＋2）， k 联立22消去 y，整理得(3k2＋4)x2＋16x＋16－12k2＝0， xy ＋＝1，43 ??? 16－12k2 所以－2xQ＝2， 3k＋4 6k2－8 解得xQ＝2. 3k＋4→→因为AC ＝λAQ ， 8k2－6 ＋22xC＋24k＋316k2（3k2＋4）7 所以λ＝＝2＝2＝1＋.(14分) xQ＋26k－812k（4k2＋3）12k2＋9 ＋23k2＋4因为0 3， 2 2516?所以λ∈??18，9?.(16分) 19. (1) f(x)＝(3－x)ex，f′(x)＝(2－x)ex， 令f′(x)＝0，解得x＝2，列表如下： 所以当x＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e，无极小值．(3分) (2) 由y＝f(x)g(x)＝(3－x)(x＋a)ex， 得y′＝ex[－x2＋(3－a)x＋3a－2x＋(3－a)]＝ex[－x2＋(1－a)x＋2a＋3]． 因为ex>0，令m(x)＝－x2＋(1－a)x＋2a＋3， 所以函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立， 2 ??m（1）≥0，所以?解得a≥－3，(8分) ?m（2）≥0，? 故a的取实范围是[－3，＋∞)． f（x）＋g（x）（3－x）ex＋x＋a(3) 由题意得h(x)＝＝， xxex（－x2＋3x－3）－a 则h′(x)＝. x2令r(x)＝ex(－x2＋3x－3)－a, 因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值， 所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根， 即r(x)＝ex(－x2＋3x－3)－a＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x1，x2(x1 因为r′(x)＝ex(－x2＋3x－3－2x＋3)＝ex(－x2＋x)＝x(1－x)ex， 所以当x∈(0，1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减，则0 ??r（0）<0，所以?解得－3 ?r（1）>0，? 3?3232 所以r?＝－e－a<－e＋3<0. ?2?44 3?因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·r??2?<0， 3 1，?上各有一个实数根， 所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间??2?所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3 1，?上存在极大值f(x2)， 区间(0，1)上存在极小值f(x1)，在区间??2?（3－x2）ex2＋x2＋aex2（－x22＋3x2－3）－a 所以h(x2)＝，且h′(x2)＝＝0， x2x22 2 所以a＝ex2(－x2＋3x2－3)， 33 1所以h(x2)＝[(3－x2)ex2＋x2＋ex2(－x2＋3x－3)]×＝ex2(2－x2)＋1，(13分) 22 x2令H(x)＝ex(2－x)，则H′(x)＝ex(1－x)， 当x∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减， 31，?， 因为x2∈??2?3?所以h??2? 即h(x2)∈?e2＋1，e＋1?， ?2?13 则3 2 因为h(x)的极大值小于整数b， 所以满足题意的整数b的最小值为4.(16分) 20. (1) 因为数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以mn＝2，Mn ＝an＝2n， 2＋2n－ 则bn＝＝1＋2n1， 2 1－2n 所以 Bn＝n＋×1＝2n－1＋n.(4分) 1－2(2) 若数列{bn}是等差数列，设其公差为d′. 因为bn－bn－1＝ Mn＋mnMn－1＋mn－1Mn－Mn－1mn－mn－1 －＝＋＝d′. 2222 3 根据Mn，mn的定义，有以下结论： Mn≥Mn－1，mn≤mn－1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分) ①若d′>0，则必有Mn>Mn－1， 所以an＝Mn>Mn－1≥an－1， 即对n≥2，n∈N*都有an>an－1， 所以Mn＝an，mn＝a1，bn－bn－1＝ Mn＋mnMn－1＋mn－1an＋a1an－1＋a1an－an－1 －＝－＝＝d′， 22222 所以an－an－1＝2d′，即{an}为等差数列； ②当d′<0时，则必有mn 所以an＝mn 即对n≥2，n∈N*都有an Mn＋mnMn－1＋mn－1a1＋ana1＋an－1an－an－1 －＝－＝＝d′， 22222 所以an－an－1＝2d′，即{an}为等差数列； ③当d′＝0时，bn－bn－1＝ Mn＋mnMn－1＋mn－1Mn－Mn－1mn－mn－1－，＋＝0， 2222 因为Mn－Mn－1，mn－mn－1中必有一个为0， 所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即Mn＝Mn－1，mn＝mn－1， 所以{an}为常数数列，所以{an}为等差数列， 综上，数列{an}也一定是等差数列．(10分) ＋ (3) 因为bn＋1－bn＝[2n1－100(n＋1)]－[2n－100n]＝2n－100， 所以当n<7时，bn＋1－bn<0，即b1>b2>…>b6>b7， 当n≥7时，bn＋1－bn>0，即b7 若mn≤an＋1≤Mn，则Mn＋1＝Mn，mn＋1＝mn， 所以bn＋1＝bn，不合题意； 若an＋1>Mn，则Mn＋1＝an＋1，mn＋1＝mn，则 1矛盾，不合题意； Mn＋mnMn＋1＋mn＋1 <，得bn 22 所以an＋1 同理可证：a7 所以bn＝， 2 所以an＝2bn－a1，a1＝b1＝－98， 因为bn＝2n－100n， ＋ 所以an＝2n1－200n＋98， 4（1－2n）n（n＋1）＋ 所以An＝－200×＋98n＝2n2－100n2－2n－4；(13分) 21－2 ②当n>7时，a1>a2>…>a6>a7，且a7 所以mn＝a7＝28－200×7＋98＝－1 046，则Mn为a1或an.若Mn为a1，则bn为常数，与题意不符， 所以Mn＝an， an＋a7 所以bn＝， 2 所以an＝2bn－a7＝2n1－200n＋1 046， ＋ 29（1－2n7） 所以An＝A7＋a8＋a9＋…＋an＝2－4 900－14－4＋－ 1－2 － 9 （n＋8）（n－7）＋ 200×＋1 046(n－7) ＝2n2－100n2＋946n－6 640， 2
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