1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2取得极小值.
(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.
xx?1
(3)与两直线 y??1?t及_____________ .z?2?t
(4)设L为取正向的圆周x?y?9,则曲线积分_____________.
(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量
22x?1y?2z?1都平行且过原点的平面方程为??1112(2xy?2y)dx?(x?4x)dy= ??Lβ?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
x1t2求正的常数a与b,使等式limdt?1成立.
2x?0bx?sinx?0a?t
三、(本题满分7分).
(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求
?u?v,. ?x?x?301???(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A?110,求矩阵B. ????014??
四、(本题满分8分)
求微分方程y????6y???(9?a)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设limx?a2f(x)?f(a)??1,则在x?a处
(x?a)21
(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (C)f(x)取得极小值
(B)f(x)取得极大值 (D)f(x)的导数不存在
(2)设f(x)为已知连续函数,I?t(A)依赖于s和t (C)依赖于t、x,不依赖于s (3)设常数k?0,则级数(A)发散 (C)条件收敛
?st0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值
(B)依赖于s、t和x (D)依赖于s,不依赖于t
?(?1)nn?1?k?n 2n
(B)绝对收敛
(D)散敛性与k的取值有关
**(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A是A的伴随矩阵，则|A|等于
(A)a (C)an?1
(B)
1 an(D)a
六、（本题满分10分） 求幂级数
1n?1x的收敛域，并求其和函数. ?n2n?1ng? 七、（本题满分10分）
求曲面积分
I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,
???z?y?1 1?y?3f(x)?其中?是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y?x?0???轴正向的夹角恒大于
2.
八、（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间
(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
九、（本题满分8分）
问a,b为何值时,现线性方程组
2
x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?____________,X的方差为____________. 十一、（本题满分6分）
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
1?e?x2?2x?1,则X的数学期望为
10?x?1e?yy?0fX(x)? ,fY(y)? ,
y?00其它0求Z?2X?Y的概率密度函数.
3
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(x?3)n(1)求幂级数?的收敛域. nn3n?1?(2)设f(x)?ex,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域. (3)设
2?为曲面
x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分
333I?òxdydz?ydzdx?zdxdy. ???
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若f(t)?limt(1?)2tx,则f?(t)= _____________.
x??1x(2)设f(x)连续且
?x3?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.
2x 2(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)? 叶(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.
?1?x?0,则的傅里
0?x?1(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)可导且f?(x0)?(A)与?x等价的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小
1,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是 2 (B)与?x同阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小
(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数
f(x)在点x0处
(A)取得极大值
(C)某邻域内单调增加
(B)取得极小值 (D)某邻域内单调减少
(3)设空间区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,则:
4
(A)(C)
???xdv?4???dv
?1?2
(B)(D)
???ydv?4???ydv
?1?2?1?2
???zdv?4???zdv
?1?2???xyzdv?4???xyzdv
(4)设幂级数
?a(x?1)nn?1?n在x??1处收敛,则此级数在x?2处
(B)绝对收敛
(D)收敛性不能确定
(A)条件收敛 (C)发散
(5)n维向量组α1,α2,L,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,L,ks,使k1α1?k2α2?L?ksαs?0 (B)α1,α2,L,αs中任意两个向量均线性无关
(C)α1,α2,L,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,L,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分6分)
xy?2u?2u设u?yf()?xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2?y.yx?x?x?y
五、(本题满分8分)
设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2e,其图形在点(0,1)处的切线与曲线
x
y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x).
六、（本题满分9分）
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为间的距离),质点M沿直线y?k(k?0为常数,r为A质点与M之2r2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点
A对质点M的引力所作的功.
七、（本题满分6分）
?100??100?????5已知AP?BP,其中B?000,P?2?10,求A,A.
???????00?1???211???200??200?????已知矩阵A?001与B?0y0相似. ???????01x???00?1??5
八、（本题满分8分）
考研数学一历年真题(1987-2017)年（直接打印版）
