第6讲 随机数及用模拟方法估计概率
基础巩固
1.方程x+x+n=0(n∈(0,1))有实根的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C
【解析】由Δ=1-4n≥0得n≤,又n∈(0,1),故所求事件的概率为P=.
2.已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A
【解析】试验的所有结果构成的区域长度为10min,而构成事件A的区域长度为1min,故P(A)=.
2
3.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°,若向圆内投镖,如果某人每次都投入圆内,那么他投中阴影部分的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A
【解析】阴影部分的面积是整个圆的面积的.
4.如图,已知正方形的面积为10,向正方形内随机地撒200颗黄豆,数得落在阴影外的黄豆数为114颗,以此试验数据为依据,可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.5.3 B.4.3 C.4.7 D.5.7 【答案】B
【解析】这个面积是10×=4.3.
5.如右图所示,在直角坐标系内,射线OT落在60°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠xOT内的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D
【解析】记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.事件A的几何度量是60°,而所有区域的几何度量是360°,故P(A)=.
6.某人向平面区域|x|+|y|≤内任意投掷一枚飞镖,则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A
【解析】区域|x|+|y|≤是边长为2的一个正方形区域(如下图),由图知所求概率为.
7.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知事件A对应表示的区域,其面积为8,试验的全部结果构成的区域面积为16,故所求概率为P=.
8.向面积为9的△ABC内任投一点P,那么△PBC的面积小于3的概率是 . 【答案】
【解析】如图,由题意,△PBC的面积小于3,则点P应落在梯形BCED内,
∵,
∴S△ADE=4.∴S梯形BCED=5.∴P=.
9.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域.向D中随机投一点,则落入E中的概率是 .
【答案】
【解析】如图,区域D表示边长为4的正方形ABCG的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P=.
10.在不等式组所表示的平面区域内,点(x,y)落在区域内的概率是 . 【答案】
【解析】如图,题中不等式组所表示的平面区域的面积是,在这个区域中带形区域的面积是1,故所求的概率是.
11.两人约定在20:00到21:00之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的,求两人在约定时间内相见的概率. 【解】设两人分别于x时和y时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内相见,
当且仅当-≤x-y≤.
两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.
因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小,也就是所求的概率为P=.
12.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是. (1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;
②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率. 【解】(1)由题意可知:,解得n=2.
(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12个,事件A包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0)共4个.
∴P(A)=.
②记“x2+y2>(a-b)2恒成立”为事件B,则事件B等价于“x2+y2>4”, (x,y)可以看成平面中的点,
则全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件B所构成的区域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},P(B)==1-. 13.已知函数f(x)=ax2-2bx+a(a,b∈R).
(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率;
(2)若b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,求方程f(x)=0没
有实根的概率.
【解】(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2,3}中任一个元素,a,b取值的情况是:(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3, 3),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为16.
记“方程f(x)=0恰有两个不相等的实根”为事件A,
当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a≠0, 当b>a且a≠0时,a,b取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3),即A包含的基本事件数为3,
∴方程f(x)=0恰有两个不相等实根的概率P(A)=. (2)记“方程f(x)=0没有实根”为事件B.
∵b从区间(0,2)中任取一个数,a从区间(0,3)中任取一个数,
则试验的全部结果构成区域{(a,b)|0 则事件B所构成的区域为{(a,b)|0 拓展延伸 14.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A,B除外),将线段AB分成了三条线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 【解】(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:1,1,4;1,2,3;2,2,2,共3种情况,其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形,则构成三角形的概率P=. (2)设其中两条线段长度分别为x,y,则第三条线段长度为6-x-y,则全部结果所构成的区域为 这个区域是坐标平面内以点O(0,0),A(6,0),B(0,6)为顶点的三角形,其面积为×6×6=18. 若三条线段能够构成三角形,则还应满足任意两边之和大于第三边,即满足 这个区域是以D(0,3),E(3,0),F(3,3)为定点的三角形,其面积是. 故所求的概率为.
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