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函数与一次函数（2）
9．（2019?新疆，第22题11分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．
（1）填空：A，B两地相距 420 千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？ 考点： 一次函数的应用． 分析： （1）由题意可知：B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米，所以A，B两地相距360+60=420千米； （2）根据货车两小时到达C站，求得货车的速度，进一步求得到达A站的时间，进一步设y2与行驶时间x之间的函数关系式可以设x小时到达C站，列出关系式，代入点求得函数解析式即可； （3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，求得y1的函数解析式，与（2）中的函数解析式联立方程，解决问题． 解答： 解：（1）填空：A，B两地相距420千米； （2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时， 货车到达A地一共需要2+360÷30=14小时， 设y2=kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得 ， 解得， 所以y2=30x﹣60； 杨老师教学菁品堂
（3）设y1=mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得 解得所以y1=﹣60x+360 由y1=y2得30x﹣60=﹣60x+360 解得x= 小时相遇． ， 答：客、货两车经过点评： 本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
10．（2019?新疆，第23题12分）如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）． （1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．
考点： 一次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）分别令y=0，x=0求解即可得到点A、B的坐标； （2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解； 杨老师教学菁品堂
（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解． 解答： 解：（1）令y=0，则﹣x+8=0， 解得x=6， x=0时，y=y=8， ∴OA=6，OB=8， ∴点A（6，0），B（0，8）； （2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10， ∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位， ∴AP=2t， AQ=AB﹣BQ=10﹣t， ∴点Q到AP的距离为AQ?sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t）， ∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t2﹣10t）=﹣（t﹣5）2+20， ∵﹣＜0，0＜t≤3， ∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣（3﹣5）2+20=（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=∴解得t==， ， ， ， ； 若∠AQP=90°，则cos∠OAB=∴解得t==， ， ∵0＜t≤3， ∴t的值为， =， 此时，OP=6﹣2×杨老师教学菁品堂
PQ=AP?tan∠OAB=（2×∴点Q的坐标为（综上所述，t=标为（，，）×=）， ， 秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐）． 点评： 本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论．
11．（2019年云南省，第23题9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为
，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、
F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
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考点： 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 综合题；存在型；分类讨论．
分析： （1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．
（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣
．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，
对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
解答： 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示． ∵PH∥OA， ∴△CHP∽△COA． ∴
=
=
．
∵点P是AC中点， ∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO． ∵A（3，0）、C（0，4）， ∴OA=3，OC=4． ∴HP=，CH=2． ∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°， ∴∠CHP=∠COA=90°． ∴点P的坐标为（，2）． 设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，
2019全国数学中考试题汇编之11-函数与一次函数(2)
