高考复习之参数方程
一、考纲要求
1. 理解参数方程的概念， 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，
数方 程与普通方程的互化方法
. 会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程
.
掌握参
2. 理解极坐标的概念 . 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 . 会正确将极坐标方程化为 直
角坐标方程， 会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程 . 不要求利用曲线的 参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构 1. 直线的参数方程 (1) 标准式
过点 Po(x 0,y 0) ，倾斜角为 α 的直线 l( 如图 ) 的参数方程是
(t
x
x0 t cosa
为参数 )
y
y0 t sin a
(2) 一般式
过定点 P0(x 0,y 0) 斜率 k=tg α = 的直线的参数方程是
b
a
x y
x0 y0
at bt
(t 不参数 )②
在一般式②中，参数 t
时， ｜ t ｜表示直线上动点
不具备标准式中
t 的几何意义，若 a2+b2=1, ②即为标准式，此
P 到定点 P0 的距离；若
0
0
a2+b2≠ 1，则动点 P 到定点 P0 的距离是
a2 b2 ｜ t ｜ .
直线参数方程的应用
0
设过点 P (x ,y ), 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是 （ t 为参数）
x
x0 y0
2
t cosa t sin a
y
1
若 P 、 P 是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为 (1)P 1、 P2 两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α) ； (2) ｜ P1P2｜=｜ t 1-t 2｜ ;
(3) 线段 P1P2 的中点 P所对应的参数为 t ，则 t= t1
t ,t
1
，则
2
t 2 2
P 到定点 P 的距离｜ PP ｜=｜ t ｜ =｜
中点
0 0
t1 t 2 ｜
2
(4) 若 P0 为线段 P1P2 的中点，则 t 1+t 2=0.
.
2. 圆锥曲线的参数方程
(1) 圆
圆心在 (a,b) ，半径为 r 的圆的参数方程是
x y
a r cos b r sin
( φ是参数 )
φ 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角， φ ∈［ 0,2 π ］ ( 见图 )
(2) 椭圆
椭圆 x
2
a 2
y 2 1(a ＞ b＞ 0) 的参数方程是 b2
x a cos
y bsin
y 2
( φ为参数 )
椭圆
y
2
1 (a ＞b＞ 0) 的参数方程是
a
2
b 2
x b cos
y a sin
3. 极坐标
( φ 为参数 )
极坐标系 在平面内取一个定点 O，从 O引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向 ( 通常取逆时针方向为正方向 ) ，这样就建立了一个极坐标系， O 点叫做极点，射线 Ox 叫 做极轴 .
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .
点的极坐标 设 M点是平面内任意一点，用 ρ表示线段 OM的长度， θ表示射线 Ox 到OM的角度 ，那么 ρ 叫做 M点的极径， θ 叫做 M点的极角，有序数对 ( ρ , θ ) 叫做 M点的极坐标.( 见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1) 互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位 . (2) 互化公式
x y
cos sin '
2
tg
x 2 y x
y2
( x
0)
三、知识点、能力点提示 例 1 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0
短和最长 .
( 一 ) 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
上求两点 A 和 B，使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最
解： 将圆的方程化为参数方程：
.
x 2 5 cos y 1 5sin
（ 为参数）
， 1+5sin
则 圆 上 点
P 坐 标 为 (2+5cos ) ， 它 到 所 给 直 线 之 距 离
d= 120cos
15 sin 4 2 32
30
故当 cos( φ - θ)=1 ，即 φ =θ时 ，d 最长，这时，点 A 坐标为 (6 ，4) ；当 cos( φ - θ)=-1,
即θ =φ - π时， d 最短，这时，点 B 坐标为 (-2 ， 2).
( 二 ) 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 说明 例 2
这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
极坐标方程 ρ =
1
所确定的图形是（ ）
2 3 sin
B. 椭圆
cos
A. 直线 线
C. 双曲
D.抛物
1
1
解： ρ =
2[1 (
1
3 1
2
1
sin(
cos
)]
) 6
2
2
( 三 ) 综合例题赏析 例 3
椭圆
x y
3 cos
( 是参数 )的两个焦点坐标是
（ ）
1 5sin
A.(-3 ， 5) ， (-3 ， -3) C.(1 ，1) ， (-7 ， 1) 解：化为普通方程得
B.(3 ， 3) ， (3 ， -5) D.(7 ， -1) ，(-1 ， -1)
( x 3) 2
( y
1)2 25
1
9
∴ a2=25,b 2=9, 得 c2＝１６ ,c=4. ∴ F(x-3,y+1)=F(0, ± 4)
∴在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是 应选 B.
例 4 参数方程
(3，3) 和(3 ，-5).
x
cos sin
2
sin )
2
y
1
2
(0
2 )表示
(1
A. 双曲线的一支，这支过点
(1，)
1
B. 抛物线的一部分，这部分过
(1 ，
1
2
2
.
)
C. 双曲线的一支，这支过 (-1 ， )
1
D.抛物线的一部分，这部分过 (-1 ，
2
1
2
)
解：由参数式得 x2=1+sin θ=2y(x ＞ 0) 即 y= x2(x ＞ 0).
1
2
∴应选 B. 例 5
在方程
x y
sin cos
B.（
( θ 为参数 ) 所表示的曲线一个点的坐标是
( )
A.(2,-7)
1
， 2 ）
C.( 1 ， 1 )
D.(1 ，0)
3 3 2 2
解： y=cos2 =1-2sin2
将 x= 代入，得 y=
11
=1-2x 2
2
2
∴应选 C. 例 6
下列参数方程 (t 为参数 ) 与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是
( )
A.
x y
t t
B.
x y
cost cos t
x
C.
tgt
2
y
1 cos 2t 1 cos 2t
x tgt
D.
1 cos 2t y
1 cos 2t
解：普通方程
x2-y 中的 x∈ R， y≥ 0， A. 中 x=｜ t ｜≥ 0， B. 中 x=cost ∈〔 -1,1 〕，故排
除 A.和 B.
2cos2 t
C. 中 y=
2
1 tg t
1 x
2
2sin t
2
=ctg t=
22=，即 x y=1 ，故排除 C.
∴应选 D. 例 7
A.x 2+(y+2) 2=4
D.(x+2) 2+y2=4
解：将 ρ= x2
曲线的极坐标方程 ρ =４ sin θ 化 成直角坐标方程为 (
B.x
2)
+(y-2)
2=4
C.(x-2) 2+y2=4
y 2 ，sin θ =
y x2
代入 ρ =4sin θ ，得 x2+y2=4y，即 x2+(y-2) 2=4.
y 2
∴应选 B. 例 8
极坐标 ρ =cos(
4
) 表示的曲线是 (
)
C.抛物线
A. 双曲线 B. 椭圆 D.圆
.
解：原极坐标方程化为 ρ=
1 (cos θ +sin θ )2 2 =ρcos θ +ρsin θ ，
2
∴普通方程为 应选 D. 例 9
A. ρ sin θ =2
2 (x 2+y2)=x+y ，表示圆 .
在极坐标系中，与圆
B. D.
ρ=4sin θ相切的条直线的方程是 ( )
ρcos θ =2 ρcos θ =-4
C. ρ cos θ =-2
例 9 图
解：如图 .
⊙ C 的极坐标方程为 ρ =4sin θ ， CO⊥ OX,OA为直径，｜ OA｜ =4,l l 交极轴于 B(2， 0) 点 P(ρ , θ ) 为 l 上任意一点，则有
和圆相切，
OB
cos θ =
2
OP
，得 ρ cosθ =2，
∴应选 B. 例 10 A. 圆
线
4ρsin 2
B.
2 =5 表示的曲线是 (
)
椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物
解： 4ρ sin 2
2 =5
4ρ· cos
2
1
2
2 cos
5.
2
把 ρ = x
y 2 ρ cos θ =x，代入上式，得
2 x 2 y 2 =2x-5.
平方整理得 y2=-5x+
254
. . 它表示抛物线 .
∴应选 D. 例 11
线
极坐标方程 4sin 2θ =3 表示曲线是 (
2
)
A. 两条射线 B.
θ =3, 得 4·
两条相交直线
2
C.圆
D.抛物
解：由 4sin
y2
2
2
＝3, 即 y =3 x ，y=±
3x , 它表示两相交直线 .
x 2 y
∴应选 B.
四、能力训练 ( 一) 选择题
1. 极坐标方程 ρcos θ = 表示 ( )
4
3
A. 一条平行于 x 轴的直线
B. 一条垂直于 x 轴的直线
.
C. 一个圆
D.一条抛物线
2. 直线： 3x-4y-9=0 与圆：
x 2 cos y
2sin ,
( 为参数 ) 的位置关系是 ( )
A. 相切
线不过圆心
B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直
3. 若 (x ， y) 与 ( ρ ， θ )( ρ ∈ R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标， t 表示参数，则下列 各组曲 线：① θ =
和 sin θ =
1 ；② θ =
和 tg θ =
3
，③ ρ 2-9=0 和 ρ = 3 ；④
6
2
2
6
3
x
2
t
和
y
3 t
1
2 2
x
2 3 t
2t
y
其中表示相同曲线的组数为 A.1
( )
B.2 )
C.3
D.4
4. 设 M(ρ 1，θ 1) ，N(ρ 2，θ 2) 两点的极坐标同时满足下列关系：
则 M， N 两点位置关系是 (
A. 重合
ρ 1+ρ 2=0 ，θ1+θ 2=0，
B. 关于极点对称
C.关于直线 θ =
D.关于极轴
2
对称
5. 极坐标方程 ρ=sin θ +2cos θ 所表示的曲线是 ( ) A. 直线
B. 圆
C.双曲线 D. 抛物线
6. 经过点 M(1，5) 且倾斜角为
的直线， 以定点 M到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程
3
是( )
A．
x 1 t
2
1
B.
x 1 t
1
x 1 t
C.
1
2 2
y 5
3 t
y 5
3 t
y 5
3 t
2
1
3 t 2
2
2
y
D.
x
5 1 t
2
x y
a
b
m2 2m
7. 将参数方
m2 2m (m 是参数， ab≠ 0) 化为普通方程是 (
2m 2
2
)
m2
2m 2
.
A.
x 2
y 2 b 2
1( x a)
B.
x2 y 2 a2 b2
1( x
a)
a 2
C. x 2 y 2
a 2
1( x a)
D. x2 y 2 1( x
a2 b 2
6
),r=1
C.(1,),r=1
a)
b 2
8. 已知圆的极坐标方程 ρ=2sin( θ+
) ，则圆心的极坐标和半径分别为
( )
A.(1,),r=2 B.(1,
D.(1,
3
- ),r=2
6
3
3
x
9. 参数方程
t
1 2
t (t 为参数 ) 所表示的曲线是 ( )
y
A. 一条射线
直线
B.
两条射线
C.一条直线
D.
两 条
10. 双曲线( θ 为参数 ) 的渐近线方 程为 ( )
x 2 tg
y 1 2 sec
A.y-1=
1
( x 2)
B.y=
1 x 2
C.y-1=
2(x 2)
2
D.y+1= 2( x 2)
11. 若直线
x 4 y bt
at
( (t 为参数 ) 与圆 x2+y2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为
( )
A.
或
3
12. 已知曲线
B.
5
3
2 3
C.
或 2
D.
3 3 3
x y
2 pt 2 2 pt
)
(t 为参数 ) 上的点 M，N 对应的参数分别为
2
2 1
t 1，t 2，且 t 1+t 2=0，
那么 M， N间的距离为 (
A.2p(t 1+t 2)
D.2p(t 1-t 2) 2
圆上运动，其运动规律是
B.2p(t
+t 2)
C.
│
2p(t 1-t 2)
│
13. 若点 P(x ，y) 在单位圆上以角速度 ω 按逆时针方向运动， 点 M(-2xy ，y2-x 2) 也在单位
( )
A. 角速度 ω ，顺时针方向 C. 角速度 2ω , 顺时针方向
B. 角速度 ω ，逆时针方向
D.角速度 2ω ，逆时针方向
2
θ与 x 轴两个交点距离的最大值是
14. 抛物线 y=x2-10xcos θ +25+3sin θ-25sin
( )
.
A.5
15. 直线 ρ =
B.10
C.2
3
D.3
3
与直线 l 关于直线 θ = ( ρ ∈ R)对称，则 l 的方程是 ( )
A． C．
2cos
3
sin
4
B．
3
2 cos
3
cos
2 cos cos
( 二)填空题
sin 3
cos
D．
2sin
2 sin
x
3 2
4 t 5 3 t 5
16. 若直线 l 的参数方程为
(t 为参数 ) ，则过点 (4 ，-1) 且与 l 平行的直线
y
在 y 轴上的截距为
.
x
17. 参数方程
cos
y
1 cos （ 为参数）化成普通方程为
sin 1 cos
.
18. 极坐标方程 ρ =tg θ sec θ 表示的曲线是
19. 直线
.
x y
1 3t 2
.
(t 为参数 ) 的倾斜角为
；直线上一点
P(x ， y) 与点 M(-1 ，
3t
2) 的距离为
( 三) 解答题
20. 设椭圆
x
4cos 2 3 sin
( θ 为参数 ) 上一点 P，若点 P 在第一象限， 且∠ xOP=
，求
y
点 P的坐标 .
3
21. 曲线 C 的方程为
x y
2 pt 2 2 pt
(p ＞ 0， t 为参数 ) ，当 t ∈［ -1 ， 2］时 ，曲线 C 的端
△ AFB
点为 A， B，设 F 是曲线 C 的焦点，且 S =14，求 P 的值 .
22. 已知椭圆
x2
y 2 =1 及点 B(0 ，-2) ，过点 B 作直线 BD，与椭圆的左 半部分交于 C、
2
D两点，又过椭圆的右焦点
F 2 作平行于 BD的直线，交椭圆于
2
G，H两点 .
BD 是否存在 ?并说明理
(1) 试判断满足│ BC│·│ BD│ =3│ GF│·│ F2H│成立的直线
由 .
(2) 若点 M为弦 CD的中点， S△ BMF2=2，试求直线 BD的方程 . 23. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
x 8 4sec y 3tg
( θ 为参数 ) 的左焦点
.
和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为
9
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
4
24.A ，B 为椭圆 值和最小值 .
25. 已知椭圆
x2
2
y
b
2
2 =1，(a ＞ b＞ 0) 上的两点， 且 OA⊥ OB，求△ AOB的面积的最大
a
x2
2
y =1，直线 l ∶
x
24
16 12
y =1，P 是 l 上一点， 射线 OP交椭圆于点 R， 8
又点 Q在 OP上且.
满足│ OQ│·│ OP│ 2
=│OR│ ，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q的轨迹方程
.
参考答案
( 一 )1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C ( 二 )16.-4 ；17.y ２ =-2(x-
13.C 14.C 15.D
1 ),(x 2
≤ 1 );18.
抛 物线； 19.135 °,|32 t|
2 2 3 ; 3
( 三 )20.(
8 54 15
)；21. ,
5
5
22.(1) 不存在， (2)x+y+2=0 ； 23. (27-3
1
41 ) ；24.Smax= ab ， smax = a 2 b2
;
5
2
( x 1) 2
( y 1)2
25.
55
=1(x,y) 不同时为零 )
2
2
单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
.
a2
b2
高中数学参数方程知识点汇总
