高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念 1. 导数的定义：
设 x0 是函数 y ? f (x) 定义域的一点， 如果自变量 x 在 x0 处有增量 ?x ， 则函数值 y 也引起相应的增量
?y f (x0 ? ?x) ? f (x0 )
? ?x) ? f (x ) ；比值 ? 称为函数 y ? f (x) 在点 x 到 x ? ?x 之间的平均变化 ?y ? f (x 000 0 ?x ?x f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?y
存在，则称函数 y ? f (x) 在点 x 处可导，并把这个极限叫做 率；如果极限 lim ? lim
0?x?0 ?x ?x?0 ?x
y ? f (x) 在 x0 处的导数。
f ? x? 在点 x 处的导数记作 y??
0 x? x0
? f ?(x ) ? lim0 f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x?0 ?x 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f (x) 在点(x0 , f (x)) 处的切线的斜率，也就是说，曲线 y ? f (x) 在点 P (x0 , f (x)) 处的切线的斜率是 f ' (x0 )
，切线方程为 y ? y
0
? f ' (x)(x ? x0 ).
3．基本常见函数的导数:
① C? ? 0;（C 为常数） ③ (sin x)? ? cos x ;
② xn
??? ? nxn?1;
④ (cos x)? ? ?sin x ; ⑥ (ax )? ? ax ln a ; ⑧ ?l o g x?? ? log e .
a
⑤ (ex )? ? ex ; ⑦ ?ln x?? ? ;
1 1
x x
a
二、导数的运算
1. 导数的四则运算：
法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： ??
? x? ? g?? x??? f ? x? ? g ? x?????f ??
法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： ?? ??f ?xg x? f xg?xf x? g x?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ?(Cf (x))' ? Cf ' (x).
(
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
C 为常数)
法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
? f ? ??? f ?? x? x? g ? x? ? f ? x? g?? x???。 g ? x? ? 0? ? ? ?2x? ?? g ? ???? g ? x???
2. 复合函数的导数
形如 y ??
f [(x)] 的函数称为复合函数。法则： f ?[(x)] ??f ?()*?(x) .
三、导数的应用
1. 函数的单调性与导数
（1） 设函数 y ??
f (x) 在某个区间(a, b) 可导，
如果 f
' (x) ? 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；' (x) ? 0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数。
如果 f
（2） 如果在某区间内恒有 f
' (x) ? 0 ，则 f (x) 为常函数。
2. 函数的极点与极值：当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，
①如果在 x0 附近的左侧 f ' (x)
＞0，右侧 f ' (x) ＜0，那么 f (x
0
) 是极大值；
②如果在 x0 附近的左侧 f ' (x)
＜0，右侧 f ' (x) ＞0，那么 f (x
0
) 是极小值.
3. 函数的最值：
一般地， 在区间 [a, b] 上连续的函数
f (x) 在 [a, b] 上必有最大值与最小值。 函数 f (x) 在区间
[a, b]上的最值 只可能在区间端点及极值点处取得。
求函数 f (x) 在区间[a, b]上最值的一般步骤：①求函数 f (x) 的导数，令导数 f
' (x) ? 0 解出方程的跟
②在区间[a, b] 列出 x, f
' (x), f (x) 的表格，求出极值及 f (a)、f (b) 的值;③比较端点及极值点处的函数值的大
小，从而得出函数的最值。
4. 相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
四、函数的概念
1.函数的概念
①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯
一确定的数 f (x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B
的一个函数，记作 f : A ? B ．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
五、函数的性质
1. 函数的单调性
①定义及判定方法
函数的 性 质 定义 图象 判定方法 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量 的值 x1、x2,当 x1< x2 时，都 有 f(x1)
若 y ??f (u) 为减， u ? g(x) 为减， 则 y ??
f [g(x)]，令u ? g(x) ，若 y ??f (u) 为增， u ? g(x) 为增，则 y ??f [g(x)] 为增；
f [g(x)] 为增； 若 y ??f (u) 为增， u ? g(x) 为减， 则
y ? f [g(x)] 为减；若 y ??f (u) 为减， u ? g(x) 为增，则 y ??f [g(x)] 为减．
a
（2）打“√”函数 f (x) ? x ??(a ? 0) 的图像与性质
x
o
．f (x) 分别在(??, ??a ]、[ a , ??) 上为增函数，分别在[??a , 0) 、(0, a ] 上为减函数
2. 最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）
①一般地，设函数 y ? f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 x ? I ，都有 f (x) ? M ；
（2）存在 x0 ? I ，使得 f (x0 ) ? M ．那么，我们称 M 是函数 f (x)
的最大值，记作 fmax (x) ? M ．
②一般地，设函数 y ? f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 x ? I ，都有 f (x) ? m ；
（2）存在 x0 ? I ，使得 f (x0 ) ? m ．那么，我们称 m 是函数 f (x) 的最小值，记作 fmax (x) ? m ．
3. 奇偶性
①定义及判定方法
函数的 性 质 函数的奇偶性 定义 图象 判定方法 如果对于函数 f(x)定义域内 （1） 利用定义（要先任意一个 x，都有 f(－x)=－ f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数． 判断定义域是否关于原点对称） （2） 利用图象（图象 如果对于函数 f(x)定义域内 关于原点对称） （1） 利用定义（要先任意一个 x，都有 f(－x)=f(x), 那么函数 f(x)叫做偶函数． 判断定义域是否关于原点对称） （2） 利用图象（图象 ②若函数 f (x) 为奇函数，且在 x ? 0 处有定义，则 f (0) ? 0 ．
关于 y 轴对称） ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数） 的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
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