方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）
初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换
?Er必能将矩阵A化为标准形??OO?，其中r为矩阵A的秩. ?O?如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B,则称矩阵A与B等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.
2.初等矩阵的定义和性质
1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系
3)对任意m?n阶矩阵A，总存在一系列m阶初等阵P1,P2,L,Pk和一系列n阶初等阵Q1,Q2,L,Ql,使得
?ErPPLPAQQLQ?12k12l?O?O?. ?O?4)矩阵m?n阶A与B等价的充分必要条件是存在一系列m阶初等阵P1,P2,L,Pk和一系列n阶初等阵
Q1,Q2,L,Ql,使得PP12LPkAQ1Q2LQl?B.
例17 下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）
A．??10?? 00???01?1???B．?101 ????001???010???D．003 ????100???100???C．010 ????101??测试点 初等矩阵的定义和性质
?100???解析C.010是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。 ????101??答案 C
?a11?例18设三阶矩阵A?a21???a31?a11?2a31PA???a21??a31a22a32a12a22a32a13?a23??,若存在初等矩阵P,使得 a33??a12?2a32a13?2a33?a23??,则P? 【 】 a33?? 壱拾壱
?100??10?2??100??1?20?????????A.010 B.010 C.?210 D.010 ??????????????201???001???001???001??测试点 矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系 答案 B
四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法 1 矩阵的k阶子式的概念
2 矩阵秩的概念 定义O矩阵的秩为0，对于非零矩阵A，如果有一个r阶子式不等于0,而所有的r?1阶子式（如果有的话）都等于0,则称矩阵A的秩为r.显然n阶可逆矩阵的秩等于n，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.
3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵A左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价. 4.求矩阵秩的方法
?10?10???例19设矩阵A??0?234?，则A中（ ）
?0005???A．所有2阶子式都不为零 C．所有3阶子式都不为零 测试点 矩阵的k阶子式的概念. 答案 D
B．所有2阶子式都为零 D．存在一个3阶子式不为零
?101???例20设矩阵A??020?，矩阵B?A?E，则矩阵B的秩r(B) =______________.
?001???测试点 矩阵秩的概念
?001???解 B?A?E?010 ????000??答案 r(B)?2
壱拾弐
?12?13???例21设矩阵A?48?412，问a为何值时，
???36?3a??? （1）秩(A)?1； （2）秩(A)?2. 测试点 求矩阵秩的方法
3??12?13??12?13?(2)?(?4)(1)?12?1??(3)?(?3)(1)????000a?9?
?0000解 A?48?412???????????36?3a??000a?9????000?0????所以 当a?9时, 秩(A)?1;当a?9时, 秩(A)?2
例22设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B?AC的秩为__________. 测试点 用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵A,则A的秩不变. 答案 r
例23设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（ ）
?111???A．000
???000???
?111???B．011
???000????111?
??C．?222?
?000???
答案 B
?111?
??D．?222?
?333???
测试点 矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价. 解 因为A,C,D的矩阵的秩都为1，B的矩阵的秩等于2.故答案应为B.
五、矩阵方程的标准形及解的公式
AX?B?X?A?1B;XA?B?X?BA?1;?1A1XA2?B?X?A1?1BA2.
例24设矩阵A???21??13?， B????，求矩阵方程XA?B的解X.
?53??20??13?1?3?1???125????A??52???6?2? 20??????壱拾参
测试点 解矩阵方程的方法 解 X?BA?1
验算!
?10?1???例25设A,B均为3阶矩阵,E为3阶单位矩阵,且满足:AB?E?A2?B.若已知A?020,求矩阵?????101??B.
测试点 解矩阵方程的方法
解 因为AB?E?A2?B，故AB?B?A2?E 从而 (A?E)B?A?E?(A?E)(A?E)，又
2?10?1??100??00?1????010???010?,显然
A?E??020A?E可逆，应用消去律得
?????????101????001?????100???20?1??? B?A?E?030. ?????102???10?1??20?1??100????030???010??
验算 AB?E?020?????????101?????102????001???30?3??100??40?3????010???070?
??060?????????303????001?????304???20?2??20?1??40?3????030???070?
A2?B??040?????????202?????102?????304??所以确有 AB?E?A?B 例
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已知A??2?23???3?1??0?11??120?,B?,C?,D?,矩阵X满足方程????????10???21??120??101?AX?BX?D?C，求X。
测试点 求矩阵方程的解
解 由AX?BX?D?C 得(A?B)X?D?C 故 X?(A?B)(D?C) 其中A?B???1??12??13?1?,D?C??. ????11??0?21???1213?1??1?2?1?31???? ?A?BD?C??????????110?21?110?21????
壱拾四
?1?2?1?31??1?2?1?31??????????? ????0?1?1?52??0115?2??1017?3? ??????0115?2?所以 X??验算
第三章 向量空间
一、n维向量线性运算的定义和性质;
例1．已知?1?5?2?2?3??其中，?1?(3,4,?1),?2?(1,0,3),??(0,2,?5), 则?3? ____________.
测试点 n维向量线性运算的定义和性质 解 因为?1?5?2?2?3??,所以
?17?3? ??15?2????0??3??1??1?11???4??5?0?]???1? TT ?3?(?T??1T?5?2)?[?2????22??????11???5?????1???3??????2?故 ?3?(1,?1,11)(请验算) 2 壱拾伍
自考线性代数重点总结
