第一章 行列式
一．行列式的定义和性质
1. 余子式Mij和代数余子式Aij的定义
0例1行列式
10?11?110?11?110B．?1 D．2
第二行第一列元素的代数余子式A21?（ ）
?11?1A．?2 C．1
测试点 余子式和代数余子式的概念
0解析
10?11?110?11?110,A21?(?1)2?1?11?11M21???11?110?101?10012??1 ?11??0?1答案 B
2．行列式按一行或一列展开的公式 1）A?aijnn??aijAij,j?1,2,Ln;(A?aiji?1nn??aijAij,i?1,2,Ln)
j?1nk?jnk?i?A?A;?aijAkj?? 2）?aijAik?? k?jj?1k?ii?1?0?0例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为?1,2,3,对应的余子式分别为?3,?2,1则此行列式的值为 .
测试点 行列式按行(列)展开的定理
2?12?22?3解 D?(?1)?A21?2A22?3A23?(?1)(?1)M21?2(?1)M22?3(?1)M23
??3?4?3??10
例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,?3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x? . 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.
解 因第一列的元素为1,4,?3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故1?2?4?3?(?3)?4?2x?0 所以x??1
3．行列式的性质
壱
1）A?A.
T 2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.
6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.
a11例4 已知a21a12a22a32a13a332a11?2a312a12a22?2a32B.?12 D. 12
2a13a23?（ ） ?2a33a23?3，那么a21a31A.?24 C.?6
测试点 行列式的性质
2a11解析 a212a12a22?2a322a13?2a33a11a31a12a22a32a13a23??12. a33a23?2?(?2)a21?2a31答案 B 例5设行列式A．?3 C．1
a1a2b1a=1，1b2a2c1a=2，则1c2a2b1?c1b2?c2=（ ）
B．?1 D．3
测试点 行列式的性质 解
a1a2b1?c1a?1b2?c2a2b1a1?b2a2c1?3 c2故应选 D 答案 D
二．行列式的计算
1．二阶行列式和三角形行列式的计算.
2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式
弐
1114113112111111例6求4阶行列式的值. 测试点 行列式的计算
1114解
111?4113112111111002?3010?3000?302?3?10?3?(?3)00?30210?6
123233例7计算3阶行列式 249499.
367677123233解 249100(1)?(?1)(2)233(2)?(?1)(3)100203?200409?0. 300607499?200499300677367677xaaa例8 计算行列式：
axaaxaxaa
aaa测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
xaaa解 D?x?3aaaa?x?3axaaxaxx?3aa?x?3a000ax?a00a0x?a0a00x?a?
axaaxaxaaaaax?3aaa?(x?3a)(x?a)3.
ab0L0abL例9计算行列式Dn?000000 MMab0a00aLMMMO000Lb00L测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
参
ab0L0abL00aL解Dn?MMMO000Lb00L 000000 =aA11?bAn1=aM11+b(?1)n?1Mn1?an?(?1)n?1bn MMab0a00L00L例10计算行列式D6?MMO05L60L00L00L解 D6?MMN05L60L010120MM 000010L0000MM??6! 50062002L?(?1)3MMOMM(1)?(6)00(2)?(5)(3)?(4)0000L00L例11设D(x)?1xx2124x38139271416643
问（1）D(x)中，x项的系数＝？（2）方程D(x)?0有几个根？试写出所有的根。 测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理.
123解（1）x项的系数?A14?(?1)1349??(3?2)(4?2)(4?3)??2
51416(2)因为D(x)?(2?x)(3?x)(4?x)(3?2)(4?2)(4?3) 所以方程D(x)?0有三个根:x1?2,x2?3,x3?4.
第二章 矩阵
一、矩阵的概念
1.要弄清矩阵与行列式的区别 2.两个矩阵相等的概念
3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵） 二、矩阵的运算
四
1． 矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件
?12??123?例1设矩阵A?(1,2),B???， C???，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
34456????A．ACB C．BAC 测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件 答案: B
B．ABC D．CAB
?120??100?????例2设矩阵A?210， B?021，则A?2B =_____________.
?????001??013?????测试点: 矩阵运算的定义
?120??200??320???????解 A?2B??210???042???252?.
?001??026??027???????例3设矩阵A???， B???，则ATB?____________. 测试点: 矩阵运算的定义 解 ATB?(1,2)???8.
2．矩阵运算的性质
比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.
((A?B)?A+AB?BA?B ;(A?B)(A-B)?A+BA-AB-B;
22222?1??2??2??3??2??3?(AB)k?ABABLAB?AkBk; (A?E)2?A2?2A?E
如果AB?O，可能A?O,B?O.例如A??3．转置 对称阵和反对称阵 1）转置的性质
?11??22?都不为零，但AB?O. ,B??????1?1???2?2?(A?B)T?AT?BT; (?A)T ??AT;(ABC)T?CTBTAT
2）若A?A(A??A)，则称A为对称（反对称）阵 例4矩阵A,B,C为同阶方阵，则(ABC)=（ ）
伍
TTT
自考线性代数重点总结
