（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；
（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．
【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH． 【解析】 【分析】
（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=
11BC，GH∥BC，GH=BC，推出22EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；
（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出
1S△AEF=S△APF，即可得出结果． 2【详解】
S△PGH=
（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点， ∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EGHF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥AP， ∵EG∥AP， ∴EF⊥EG，
∴平行四边形EGHF是矩形； （2）∵PE是△APB的中线，
∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高， ∴S△APE＝S△BPE， ∵AP是△AEF的中线，
∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高， ∴S△APE＝S△APF，
11BC，GH∥BC，GH＝BC， 22∴S△APF＝S△BPE， ∵PF是△APC的中线，
∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高， ∴S△APF＝S△CPF， ∴S△CPF＝S△BPE，
∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，
∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC底边BC上高的一半，
∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半， ∵GH＝EF， ∴S△PGH＝
1S△AEF＝S△APF， 2综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH． 【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
8．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．
（1）求AE、EF的位置关系；
（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S△B′EC＝【解析】 【分析】
108． 25（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；
（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出. 【详解】
（1）由折线法及点E是BC的中点，
∴EB＝EB′＝EC，∠AEB＝∠AEB′， ∴△B'EC是等腰三角形， 又∵EF⊥B′C
∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF＝∠FEC，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°，即∠AEF＝90°， 即AE⊥EF；
（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点， ∴EB＝EB′＝EC，
∴∠EBB′＝∠EB′B，∠ECB′＝∠EB′C； 又∵△BB'C三内角之和为180°， ∴∠BB'C＝90°；
∵点B′是点B关于直线AE的对称点， ∴AE垂直平分BB′；
在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣（AE﹣AO）2 将AB＝4cm，BE＝3cm，AE＝5cm， ∴AO＝∴BO＝16 cm， 5AB?AO＝24cm， 52212cm， 5∴BB′＝2BO＝
∴在Rt△BB'C中，B′C＝BC2?BB?2＝由题意可知四边形OEFB′是矩形， ∴EF＝OB′＝∴S△B′EC＝
18cm， 512， 51?B?211812108C*EF????．
25525
【点睛】
考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
9．如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．
（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形． （2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；
（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°． 【解析】 【分析】
（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=CD∥GE，CD=
1GE，根据三角形的中位线的性质得到21GE，求得CD=GE，即可得到结论； 2（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，
∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；
（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】
（1）证明：∵四边形OEFG是正方形， ∴ME=
1GE， 21GE， 2∵OG=2OD、OE=2OC， ∴CD∥GE，CD=∴CD=GE，
∴四边形CDME是平行四边形；
（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°， ∵四边形OEFG是正方形， ∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，
∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′， ∴∠G′OD=∠E′OC， ∴∠AOG′=∠COE′， 在△AG′O与△ODE′中，
?OA＝OD???AOG?＝?DOE?， ?OG?＝OE??∴△AG′O≌△ODE′
∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O， ∵∠1=∠2，
∴∠G′HD=∠G′OE′=90°， ∴AG′⊥DE′；
（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，
Ⅰ、当AN=AO时， ∵∠OAN=45°， ∴∠ANO=∠AON=67.5°， ∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°； Ⅱ、当AN=ON时， ∴∠NAO=∠AON=45°， ∴∠ANO=90°， ∴α=90°-45°=45°；
②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，
中考数学专题复习分类练习 平行四边形综合解答题
