2015年高三数学专题---离心率求值或范围问题
离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其
范围.很多同学掌握起来比较困难，本专题就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.
一、【知识储备】求离心率的方法
离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度的常用方法：
（1）直接求出a,c求解出e,有时候也要关注定义，如在椭圆中PF1?PF2?2a,F1F2?2c，则
e?F1F2F1F2cc?，同理在双曲线中e??（假设P在双曲线右支上） aPF1?PF2aPF1?PF22c2a2?b2b2?1?2，在双曲线中（2）变用公式，整体求出e:在椭圆中e?2?2aaac2a2?b2b2e?2??1?2 2aaa2（3）构造a,c的齐次式，解出e,根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得出关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值。 二、求解离心率的范围的方法 途径一：借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a,b,c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.
a2例1． 已知椭圆的中心在O,右焦点为F，直线l方程为x?，若在l上存在点M，使线段OM
c的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
??2? B.?3? C.?3?A.?? D.?0,2? ?0,,1?,1?????2??2?2??????2?x2y2222例2．已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)与圆C2:x?y?b，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所
ab作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
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A．[,1) B．[122323,] C．[,1) D．[,1) 2222途径二：借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，?的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解. 例3．（2014江西赣州期末联考）过椭圆C：
x2a2?y2b2?1(a?b?0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C
11于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜, 则椭圆的离心率的取值范围是 32 . 途径三： 借助函数的值域求解范围
根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
x2y2x2y2??1与双曲线C2:??1有相同的例4．（2014河南郑州第一次质量预测）已知椭圆C1:m?2nmn焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为（ ） A．(
221,1) B．(0,) C．(0,1) D．(0,) 222【迁移运用】
12，则双曲线的离心率为 1.（15年河南开封定位考试3）已知双曲线方程4x－3y＝ A．
2221777 B． C． D．
3723x2y2＝1的离心率为2，则n的值为 2．（14年河南信阳第二次调研3）已知双曲线－n4－n A．2 B．
45 C．1 D． 32x221的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则该椭圆的离心3.（14年河南濮阳第一次模拟4）椭圆2＋y＝a率为
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A．
3211 B． C． D．
3223x221（a＞0）的实轴长为2，则该双曲线的离心率为D 4.（14年河南郑州三模5）已知双曲线2－y＝a A．52 B． C．5 D．2
221y2x25.（14年河南新乡三模5）已知α是三角形的最大内角，且cos2α＝，则曲线＋＝1的离心
cos?sin?2率为
A．2 B．3 C．1＋2 D．1＋3 x2y21的离心率为 6.（14年河南安阳第一次调研4）若实数2，m，8成等比数列，则圆锥曲线＋＝m2 A．
6222 B．3 C．或3 D．或 2222x2y21（a＞0，b＞0），过双曲线的一个焦点作实轴的垂线交7.（14年河南开封四模4）已知双曲线2－2＝ab双曲线于A、B两点，若OA·OB＝0（O为坐标原点），则双曲线的离心率e等于 A．2 B．3 C．3＋15＋1 D． 22x2y21的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C8.（14年河南十所名校阶段测试五4）已知椭圆C：2＋2＝ab上一点，若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为
A．
222 B．2－1 C．2－1或 D． 2249.（14年河南豫南九校仿真模拟）
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高三数学专题离心率求值或范围问题要点
