,.
(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．
以题试法
2．求下列函数的导数． (1)y＝ex·ln x；(2)y＝x解：(1)y′＝(ex·ln x)′ ＝exln x＋ex·
?11?2?x＋＋3?； xx??
?1?1
x＝e?ln x＋?.
x?
x?
(2)∵y＝x3＋1＋
1
x2
，∴y′＝3x2－
2
x3
.
典题导入
[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 C．9
B．－3 D．15
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
1
A．－
4C．4
B．2 1D．－
2
[自主解答] (1)y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2. 又f′(x)＝g′(x)＋2x，
,.
∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C
若例3(1)变为：曲线y＝x3＋11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0，y0)， 由y＝x3＋11，得y′＝3x2，
2. ∴k＝y′|x＝x0＝3x0
又∵k＝
y0－13x0－0
，∴
x30＋11－13
x0
＝3x20.
∴x30＝－1，即x0＝－1. ∴k＝3，y0＝10.
∴所求切线方程为y－10＝3(x＋1)， 即3x－y＋13＝0.
由题悟法
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知切线过某点M(x1，f(x1))(不是切点)求切点，设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝
f?x1?－f?x0?x1－x0
＝f′(x0)求解．
以题试法
3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 11
(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值
22为( )
,.
A．－2 1C．－
2
B．－1 D．1
解析：(1)y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
??111
(2)设切点的坐标为?a，－a＋ln a?，依题意，对于曲线y＝－x＋ln x，有y′＝－＋
222???1?1111111
1，－? 在直线y＝x＋b上，故－＝＋b，得b，所以－＋＝，得a＝1.又切点?
2x2a2222??
＝－1.
答案：(1)y＝4x－3 (2)B
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( ) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2)
D．3(x2＋a2)
解析：选C f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 2．已知物体的运动方程为度为( )
19
A. 415
C. 4
17B. 413D. 4
s＝t2＋
3
(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速
t
,.
3313
解析：选D ∵s′＝2t－2，∴s′|t＝2＝4－＝. t44
3． (2012·哈尔滨模拟)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )
A．y＝－3x C．y＝3x
B．y＝－2x D．y＝2x
解析：选B ∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x， ∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2. ∵f′(x)为偶函数，∴a＝0. ∴f′(x)＝3x2－2.∴f′(0)＝－2.
∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.
?π?1＋cos x4．设曲线y＝在点?，1?处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于
sin x?2?
( )
A．－1 C．－2
1
B. 2D．2
－sin2x－?1＋cos x?cos x－1－cos xπ1
解析：选A ∵y′＝＝，∴y′|x＝＝－1.由条件知
sin2xsin2x2a＝－1，∴a＝－1.
5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( ) A．1 2
C. 2
B.D.
2 3
1
解析：选B 设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1.
x0
1
得x0＝1或x0＝－(舍)．
2
,.
∴P点坐标(1,1)．
|1－1－2|
∴P到直线y＝x－2距离为d＝＝
1＋1
2.
6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
D．f(x)＋g(x)为常数函数
C．f(x)－g(x)为常数函数
解析：选C 由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0， 即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
7．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________. 1
解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
xf′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8
8．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
1
解析：易知抛物线y＝x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为
2
y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.
答案：－4
113
9．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在点A(x0，
244
y0)处的切线斜率为1，则tan x0＝________.
113113
解析：由f(x)＝x－sin x－cos x得f′(x)＝－cos x＋sin x，
244244
变化率与导数及导数的计算
