第十一节
一、导数的概念
变化率与导数、导数的计算
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim f?x0＋Δx?－f?x0?ΔxΔx→0Δy＝Δlim 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x→0ΔxΔyf?x0＋Δx?－f?x0?x0，即f′(x0)＝Δlim ＝lim . x→0ΔxΔx→0Δx(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝Δlim x→0
f?x＋Δx?－f?x?
Δx为f(x)的导函数．
二、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x ,.
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝axln_a f′(x)＝ex f′(x)＝ xln a1f′(x)＝ 1f(x)＝ln x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
x?f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x?
?′＝3.?(g(x)≠0)． 2g?x?[g?x?]??
1．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝( ) A．0 C．2e
B．e D．e2
解析：选C ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为( ) A．2 1
C. 2
B．－2 1D．－
2
1
解析：选A 依题意得y′＝1＋ln x，y′ |x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.
a3．(教材习题改编)某质点的位移函数是它的加速度是( )
A．14 m/s2
s(t)＝2t3－
1
2
gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，
B．4 m/s2
,.
C．10 m/s2 D．－4 m/s2
解析：选A 由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′ |x＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0
5．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案：－xsin x 1.函数求导的原则
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导
法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别
与联系 (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，
是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
,.
典题导入
[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2；
(2)y＝2.
4
xΔyf?x＋Δx?－f?x?
[自主解答] (1)因为＝
ΔxΔx?x＋Δx?2－x2
＝
Δx＝
x2＋2x·Δx＋?Δx?2－x2
Δx＝2x＋Δx，
x→0 所以y′＝Δlim
Δyx→0 (2x＋Δx)＝2x. ＝ΔlimΔx4
4Δx?2x＋Δx?
(2)因为Δy＝－＝－2，
?x＋Δx?2x2x?x＋Δx?2
4
Δy2x＋Δx＝－4·2， Δxx?x＋Δx?2
x→0 所以Δlim
?2x＋Δx?Δy8
Δx→0－4·?＝－3. ＝lim ?2?x＋Δx?2xΔxx??
由题悟法
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf?x0＋Δx?－f?x0?
(2)求平均变化率＝；
ΔxΔxΔy(3)计算导数f′(x0)＝liΔm . x→0Δx以题试法
1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．
,.
解：(1)∵s＝8－3t2，
∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2， Δsv＝＝－6－3Δt.
Δt(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度 Δsv＝liΔm ＝liΔm (－6－3Δt)＝－6. t→0Δtt→0法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度
v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.
当t＝1时，v＝－6×1＝－6.
典题导入
[例2] 求下列函数的导数． ex＋1(1)y＝x2sin x；(2)y＝x；
e－1
[自主解答] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. ?ex＋1?′?ex－1?－?ex＋1??ex－1?′
(2)y′＝
?ex－1?2ex?ex－1?－?ex＋1?ex－2ex＝＝x.
?ex－1?2?e－1?2则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
2x－52x－52
即y′＝.
2x－5
由题悟法
求导时应注意：
(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．
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变化率与导数及导数的计算
