比较大小
知识内容
版块一．不等式的性质
1．用不等号(?，?，≤，≥，?)表示不等关系的式子叫做不等式．
2．对于任意两个实数a和b，在a?b,a?b,a?b三种关系中，有且仅有一种关系成立． 3．两个实数的大小比较：
对于任意两个实数a,b，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．
作差比较法：a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．
其中符号?表示它的左边与右边能够互相推出．
4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果a?b，那么b?a；如果b?a，那么a?b． 性质2：（传递性）如果a?b，且b?c，则a?c． 性质3：如果a?b，则a?c?b?c． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等
式的一边移到另一边．
推论2：如果a?b,c?d，则a?c?b?d．
我们把a?b和c?d（或a?b和c?d）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．
推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果a?b，c?0，则ac?bc；如果a?b，c?0，则ac?bc．
aa实数大小的作商比较法：当b?0时，若?1，且b?0，则a?b；若?1，且b?0，
bb则a?b．
推论1：如果a?b?0,c?d?0，则ac?bd．
推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
推论2：如果a?b?0，则an?bn(n?N?,n?1)． 推论3：如果a?b?0，则na?nb(n?N?,n?1)
<教师备案>1． 对于任意两个实数a,b，有a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；
a?b?0?a?b，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反
映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．
在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况．
2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断
它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．
3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．
版块二．均值不等式
a?b≥ab，当且仅当a?b时，有2等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．
a?b2．对于任意两个实数a,b，叫做a,b的算术平均值，ab叫做a,b的几何平均值．
2均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点： 1．均值定理：如果a,b?R?（R?表示正实数），那么
⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可
以先进行
转化，再运用均值不等式；
⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否
则不能由
均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．
⑴对于任意正实数a,b，作线段AB?a?b，使AD?a,DB?b； ⑵以AB为直径作半圆O，并过D点作CD?AB于D， 且交半圆于点C；
⑶连结AC,BC,OC，则OC?∵AC?BC,CD?AB ∴CD?AD?BD?ab， 当a?b时，在Rt?COD中，
AODBCa?b， 2有OC?a?b?CD?ab． 2a?b?CD?ab． 22当且仅当a?b时，O,D两点重合，有OC?3．已知：a、b?R?（其中R?表示正实数），
a2?b2a?b?a?b?2有以下不等式： ≥≥?≥ab≥???11222???aba2?b2a?b其中称为平方平均数，称为算术平均数，
222称为调和平均数． ab称为几何平均数，11?ab?a2?b2证明：??2???a?b?212??a?b?≥0 ??????2?4?2??a?b??≥?? ?2???22?a2?b2∴??2?a2?b2a?b≥∵a、b?R?，∴，当且仅当“a?b”时等号成立． 22a?b?a?b?12???(a?b)≥0 ???422??a?b?a?b?∴，当且仅当“a?b”时等号成立． ≥????22???a?b?12∵??ab?(a?b)≥0 ???24??222?a?b?∴?，当且仅当“a?b”时等号成立． ???≥ab2??ab(a?b?2ab)22ab(a?b)ab?2ab∴ab? ??ab??11a?ba?ba?b?abab(a?b)2?≥0
a?b2∴ab≥，当且仅当“a?b”时等号成立．
11?ab了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．
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板块三．解不等式
1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求
不等式.版块一.不等式性质的应用1比较大小.教师版 普通高中数学复习讲义Word版
