2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1.已知函数f(x)?(x?a)e有最小值，则函数g(x)?x?2x?a的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a的值 答案：注意f(x)?eg(x)，答案C.
2. 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c.下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）
A.a?1,b?2,c?Z
0B.A?150,asinA?csinC2asinC?bsinB
2x2/xC.cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?60 D.a?03,b?1,A?600
答案：对于选项A，由于|a?b|?c?a?b，于是c有唯一取值2，符合题意；
对于选项B，由正弦定理，有a?c?222ac?b2，可得cosB??002,B?1350，无解； 20000对于选项C，条件即cosAsin(B?C)?0，于是(A,B,C)?(90,30,60),(60,60,60)，不符合题意；
对于选项D，由正弦定理，有sinB?答案：AD.
3.已知函数f(x)?x?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ） A.f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线
B.存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C. f(x),g(x)有且只有一个交点 D. f(x),g(x)有且只有两个交点
答案：注意到y?x?1为函数g(x)在(1,0)处的切线， 如图，因此答案BD.
21000，又A?60，于是B?30,C?90，符合题意. 24. 过抛物线y?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点.下列说法中正确的有（ ）
A.以线段AB为直径的圆与直线x??B. |AB|的最小值为4 C. |AB|的最小值为2
D.以线段BM为直径的圆与y轴一定相切 答案：对于选项A，点M到准线x??1的距离为
23一定相离 211(|AF|?|BF|)?|AB|，于是以线段AB为直径的圆与直线x??1一定相切，进而与223直线x??一定相离；
211122对于选项B,C，设A(4a,4a)，则B(2,?)，于是|AB|?4a??2，最小值为4.24aa4a也可将|AB|转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D，显然BD中点的横坐标与答案：AB.
1|BM|不一定相等，因此命题错误. 2x2y25. 已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点.下列说
ab法中正确的有（ ） A.a?B. a?2b时，满足?F1PF2?900的点P有两个 2b时，满足?F1PF2?900的点P有四个
C.?PF1F2的周长小于4a
a2D. ?PF1F2的面积小于等于
2答案：对于选项A,B，椭圆中使得?F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点； 对于选项C，?F1PF2的周长为2a?2c?4a；
11?|PF1|?|PF2|?12对于选项D，?F1PF2的面积为|PF|?|PF|sin?FPF??a. ??121222?22?答案：ABCD.
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD.
7. 已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC?AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N.以下说法正确的有（ ）A.O,M,B,P四点共圆 B. A,M,B,N四点共圆 C. A,O,P,N四点共圆 D.以上三个说法均不对 答案：7.对于选项A，?OBM??OAM??OPM即得；
对于选项B，若命题成立，则MN为直径，必然有?MAN为直角，不符合题意； 对于选项C，?MBN??MOP??MAN即得. 答案：AC.
8.sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC是?ABC为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：必要性：由于sinB?sinC?sinB?sin(2?2?B)?sinB?cosB?1,
类似地，有sinC?sinA?1,sinB?sinA?1， 于是sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC. 不充分性：当A?答案：B.
9.已知x,y,z为正整数，且x?y?z，那么方程
?2,B?C??4时，不等式成立，但?ABC不是锐角三角形.
1111???的解的组数为（ ） xyz2A.8 B.10 C.11 D.12 答案：由于
11113????，故3?x?6. 2xyzx若x?3，则(y?6)(z?6)?36，可得(y,z)?(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)； 若x?4，则(y?4)(z?4)?16，可得(y,z)?(5,20),(6,12),(8,8)；
若x?5，则
311220???,y?,y?5,6，进而解得(x,y,z)?(5,5,10)； 10yzy3若x?6，则(y?3)(z?3)?9，可得(y,z)?(6,6)). 答案：B.
10.集合A?{a1,a2,?,an}，任取1?i?j?k?n,ai?aj?A,aj?ak?A,ak?ai?A这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
答案：不妨假设a1?a2???an，若集合A中的正数的个数大于等于4，由于a2?a3和
a2?a4均大于a2，于是有a2?a3?a2?a4?a1，从而a3?a4，矛盾！所以集合A中至多
有3个正数.同理可知集合A中最多有3个负数.
取A?{?3,?2,?1,0,1,2,3}，满足题意，所以n的最大值为7.答案B. 11.已知??1,??61,??121，则下列各式中成立的有（ ） A.tan?tan??tan?tan??tan?tan??3 B.tan?tan??tan?tan??tan?tan???3
000C.
tan??tan??tan??3
tan?tan?tan?tan??tan??tan???3
tan?tan?tan?y?xz?yx?z???3，
1?xy1?yz1?zxD.
答案：令x?tan?,y?tan?,z?tan?，则
所以y?z?3(1?xy),z?y?3(1?yz),x?z?3(1?zx)，
以上三式相加，即有xy?yz?zx??3.
类似地，有
111111111??3(?1),??3(?1),??3(?1)， xyxyyzyzzxzx111x?y?z?????3. xyyzzxxyz以上三式相加，即有
答案BD.
12.已知实数a,b,c满足a?b?c?1，则4a?1?积属于区间（ ）
A.(11,12) B.(12,13) C.(13,14) D.(14,15) 答案：设函数f(x)?4b?1?4c?1的最大值也最小值乘
4x?1，则其导函数f/(x)?2，作出f(x)的图象，函数f(x)4x?1的图象在x?22112111(x?)?处的切线y?，以及函数f(x)的图象过点(?,0)和73334413x?，如图， (,7)的割线y?277于是可得
41221121， x??4x?1?(x?)?73377131或x?时取得； 右侧等号当x?时取得.因此原式的最大值为21，423113当a?b?c?时取得；最小值为7，当a?b??,c?时取得，从而原式的最大值
342左侧等号当x??与最小值的乘积为73?(144,169).答案B.
清华大学2016自主招生暨领军计划试题解析版
