专题05 导数及其应用
多项选择题
1．（2024秋?滨州期末）已知定义在[0,)上的函数f(x)的导函数为f?(x)，且f(0)?0，
2f?(x)cosx?f(x)sinx?0，则下列判断中正确的是( )
??6?A．f()?f()
624C．f()?2f() 63【分析】结合已知可构造g(x)?的性质即可判断． 【解答】解：令g(x)?f(x)1，x?[0,?)， cosx2?B．f(ln)?0
3D．f()?2f()
43f(x)1，x?[0,?)，结合已知可判断g(x)的单调性，结合单调性及不等式cosx2????因为f?(x)cosx?f(x)sinx?0， 则g?(x)?f?(x)cosx?f(x)sinx?0， 2cosx1故g(x)在[0，?)上单调递减，
2因为f(0)?0，则f(x)?0，
f()f()?6???结合选项可知，g()?g()，从而有6?4，即f()?f()，故A错误，
624643222??1f(ln?)1113?0， 因为ln??0，结合g(x)在在[0，?)上单调递减可知g(ln?)?0，从而有
1233cosln?311由cosln??0可得f(ln?)?0，故B错误；
33?1f()f(?)?11?11g()?g(?)，从而有6?3，且f(?)?0，即f()?3f(?)?2f(?)．故C正确；
16336333221?f()f(?)?1?1g()?g(?)，从而有4?3即f()?2f(?)．故D正确．
14343222
故选：CD．
2．（2024秋?张店区校级期末）关于函数f(x)?A．x?2是f(x)的极大值点
B．函数y?f(x)?x有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得f(x)?kx成立
2?lnx，下列判断正确的是( ) xD．对任意两个正实数x1，x2，且x1?x2，若f(x1)?f(x2)，则x1?x2?4 【分析】A．求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；
B．求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可；
C．利用参数分离法，构造函数g(x)?2lnx，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可； ?x2xD．令g(t)?f(2?t)?f(2?t)，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可．
【解答】解：A．函数的的定义域为(0,??)，函数的导数f?(x)??21x?2??2， 2xxx?(0,2)上，f?(x)?0，函数单调递减，(2,??)上，f?(x)?0，函数单调递增， ?x?2是f(x)的极小值点，即A错误；
?x2?x?22?0， B．y?f(x)?x??lnx?x，?y??x2x函数在(0,??)上单调递减，且f（1）?1?2?ln1?1?1?0，f（2）?2?1?ln2?2?ln2?1?0，
?函数y?f(x)?x有且只有1个零点，即B正确；
C．若f(x)?kx，可得k?2lnx． ?x2x令g(x)?2lnx?4?x?xlnx，则， ?g?(x)?x2xx3令h(x)??4?x?xlnx，则h?(x)??lnx，
?在x?(0,1)上，函数h(x)单调递增，x?(1,??)上函数h(x)单调递减，
?h(x)?h（1）?0，?g?(x)?0，
?g(x)?2lnx在(0,??)上函数单调递减，函数无最小值， ?x2x?不存在正实数k，使得f(x)?kx恒成立，即C不正确；
D．令t?(0,2)，则2?t?(0,2)，2?t?2，
令g(t)?f(2?t)?f(2?t)?224t2?t， ?ln(2?t)??ln(2?t)?2?ln2?t2?tt?42?t4(t2?4)?8t22?t2?t?2?t?4t2?164?8t2则g?(t)??g?2???0，
(t2?4)22?t(2?t)2(t?4)24?t2(t2?4)2
?g(t)在(0,2)上单调递减，则g(t)?g(0)?0，
令x1?2?t，由f(x1)?f(x2)，得x2?2?t，则x1?x2?2?t?2?t?4， 当x2…4时，x1?x2?4显然成立，?对任意两个正实数x1，x2，且x2?x1， 若f(x1)?f(x2)，则x1?x2?4，故D正确． 故选：BD．
3．（2024秋?济宁期末）已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f?(x)，如图是函数y?xf?(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的增区间是(?2,0)，(2,??) B．函数f(x)的增区间是(??,?2)，(2,??) C．x??2是函数的极小值点 D．x?2是函数的极小值点
【分析】根据题意，由函数y?xf?(x)的图象分析导函数的符号，进而可得f(x)的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数y?xf?(x)的图象可知： 当x??2时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为增函数， 当?2?x?0时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为减函数， 当0?x?2时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为减函数， 当x?2时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为增函数；
据此分析选项：函数f(x)的增区间是(??,?2)，(2,??)，则B正确，A错误； x??2是函数的极大值点，x?2是函数的极小值点，则D正确，C错误；
故选：BD．
14．（2024秋?漳州期末）定义在区间[?,4]上的函数f(x)的导函数f?(x)图象如图所示，则下列结论正确的
2是( )
2024年高考新题型专题05 导数及其应用(解析版)
