,.
二 比较判别法
首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 . 由于
| f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此 | f ( x ) | d x 收敛∫ ∫
a a u + ∞
的
充要条件是
∫ | f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别
a u 法 ( 请读者自己写出证明 ) : 定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何
,.
272
第十一章 反 常 积 分
有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足
f ( x) ≤ g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) , 则当 时 , | f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , ∫当 | f ( x) | d x 发散 ∫ g( x) d x 收敛时∫
a a a + ∞ + ∞
+ ∞
+ ∞
∫
a g ( x ) d x 必发散 ) . 例 1 讨论 解 由于 ∫
0
+ ∞
sin x d x 的收敛性 . 2
1 + x
1
2
sin x 1 + x+ ∞
≤ , x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及1 + x2
∫
d x π
0
1 + x2 2
为收敛
= (§1 例 4 ) , 根据比较法则, ∫+ ∞ 0
sin x d x 为绝对收敛 . 2
1 + x
x → + ∞
上述比较法则的极限形式如下 : | g( x ) = c, 推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim | f ( x) 则有 :
+ ∞ a ( i) 当 0 < c < + ∞ 时, ∫
| f ( x ) | d x 与
∫ g( x ) d x 同敛态 ; a + ∞ a + ∞
∫
( ii) 当 c = 0 时 , 由
a + ∞
∫
+ ∞
g( x) d x 收敛可推知
f ( x) d x 也收敛 ; + ∞
(ii) ) 当 c = + ∞ 时 , 由
+ ∞
∫
a g( x ) d x 发散可推知
+ ∞
∫
a f ( x ) d x 也发散 . 当选用
∫
1
d x 作为比较对 象
∫
a g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形式 成
xp 为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) . 推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 , 则有 : 1
( i) 当 f ( x) ≤ , x∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时
+ ∞ axp ∫
f ( x) d x 收敛 ; ,.
1
( ii) 当 f ( x) ≥ , x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p ≤ 1 时
xp ∫
a+ ∞
f ( x) d x 发散 . 推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且
lim xp f ( x ) = λ . x → + ∞
则有 : ( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时∫,
+ ∞ a f ( x ) d x 收敛 ; ( ii) 当 p ≤ 1 , 0 λ≤ + ∞ 时 , ∫+ ∞ a f ( x) d x 发散 . <
,.
§2 无穷积分的性质与收敛判别
273 例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 : 1) ∫
+ ∞
1
xe d x; 2 ) α
- x ∫
+ ∞
0
x d x . 5 x+ 1
2
解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 . 1) 由于对任何实数 α都有
x → + ∞
lim x· xe
2 α- x = x → + ∞
lim xα+ 2
e
x = 0 , 因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 . 2) 由于
x → + ∞
lim x 2 · 1
x = 1 , 5 x+ 1
2
1
因此根据上述推论 3( p = , λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 . 2
对于
∫
- ∞
b f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 . 三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 . 定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) = f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 , ∫
a u g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则
∫ f ( x ) g( x ) d x 收敛 . a + ∞ 证 由 条 件 设
f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于 ∫
a u g ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当 x > G 时 , 有
x → + ∞
lim
ε
g( x ) < . 4 M 又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何
u2 > u1 > G , 存在 ξ∈ [ u1 , u2 ] , 使得
,.
ξ 1
∫ f ( x) g( x) d x = g ( u) ∫
u
2
f ( x ) d x + g( u2) u ∫
2
f ( x) d x . u 1
u 1
ξ
于是有
∫ f ( x ) g( x ) d x ≤ g( u2
u u 1 ) ·
∫ f ( x ) d x +u ξ
) ·
g( u2
∫ u 2
f ( x ) d x 1 1
g( u1 ) ·∫ξ
f ( xa ) d x -∫
u 1
a f ( x ) d x ξ
=
数学分析(华东师大)第十一章反常积分
